Tsu Mecanica

EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES



EXTREMOS ABSOLUTOS Y EXTREMOS RELATIVOS



[pic]



Considerando la función continúa f de dos variables, definida en una región acotada cerrada R. Los valores f(a,b) y f(c,d) tales que:

[pic]

Para todo (x,y) en R se conocen como el mínimo y máximo de f en la región R, como se muestra en la figura.

Es importante recordar que una regiónen el plano es cerrada si contiene todos sus puntos frontera; y una región en el plano se llama acotada si es una subregión de un disco cerrado en el plano.

Teorema del valor extremo

Sea f una función continua de dos variables x y y definida en una región

Acotada cerrada R en el plano xy.

1.- Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valormínimo.

2.- Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor máximo.



A un mínimo también se le llama mínimo absoluto y a un máximo también se le llama un máximo absoluto.



Definición de extremo relativo

Sea f una función definida en una región R que contiene (xo,yo).

1.- La función f tiene un mínimo relativo en (xo,yo) sif(x,y)[pic]f(xo,yo)
para todo (x,y) en un disco abierto que contiene (xo,yo)

2.- La función f tiene un Máximo relativo en (xo,yo) si
f(x,y)≤f(xo,yo)
para todo (x,y) en un disco abierto que contiene (xo,yo)


Para localizar los extremos relativos de f, se pueden investigar los puntos en los que el gradiente de f es cero (0) o los puntos en loscuales una de las derivadas parciales no exista. Tales puntos se llaman puntos críticos de f.

Definición de puntos críticos

Sea f definida en una región abierta R que contiene (xo,yo). El punto (xo,yo)
Es un punto crítico de f si se satisface una de las condiciones siguientes:

1.- fx(xo,yo) = 0 y fy(xo,yo) = 0
2.- fx(xo,yo) o fy(xo,yo) NO EXISTERecuérdese que si f es diferenciable y
[pic]
entonces toda derivada direccional en [pic] debe ser cero (0).


TEOREMA. Los extremos relativos se presentan solo en puntos críticos.

Si f tiene un extremo relativo en (xo,yo) en una región abierta R, entonces
[pic] es un punto crítico de f.




Ejemplo 1

Hallar los extremos relativos de f(x,y) = 2x2 + y2 + 8x - 6y +20

Solución

fx(x,y) = 4x + 8 (está definida para todo x y y)

fy(x,y) = 2y – 6 (está definida para todo x y y)

Para determinar los puntos críticos se hacen fx = 0 y fy = 0

fx(x,y) = 4x + 8 = 0 [pic] x = [pic]

fy(x,y) = 2y – 6 = 0 [pic] y = [pic]

por tanto, el único punto crítico es (-2,3)

f(-2,3) = 2(-2)2 + (3)2 + 8(-2) – 6(3) + 20 = 8 + 9 – 16 – 18 + 20 = 3para determinar si tiene un extremo relativo en (-.2,3) se toma un punto cualquiera distinto del punto crítico (-2,3) o se completa cuadrado en la expresión para f(x,y)

f(x,y) = 2x2 + y2 + 8x - 6y + 20 = 2x2 + 8x + y2 – 6y + 20 = 2(x2 + 4x -4 +4) +

= 2(x2 + 4x -4 +4) + (y2 – 6y + 9 – 9) + 20 = 2(x + 2)2 + (y – 3)2 + 3

Así, si (x,y) ≠ (-2,3), entonces f(x,y) [pic] 3, enconsecuencia por la definición de extremo relativo f(-2,3) = 3 es un valor mínimo relativo.



Ejemplo 2

Determinar los extremos relativos de f(x,y) = 1- (x2 + y2)1/3



Solución

fx(x,y) = [pic](x2 + y2)-2/3.2x =[pic]está definida para todo punto en
el plano xy excepto para (0,0)]

fy(x,y) = [pic](x2 +y2)-2/3.2y =[pic]está definida para todo punto en
el plano xy excepto para (0,0)]

Se puede observar que el único punto en el cual las derivadas parciales no existen es el punto (0,0), por tanto, (0,0) es un punto crítico
f(0,0) = 1 – (02 + 02)1/3 = 1

Así, si (x,y) ≠ (0,0), entonces f(x,y) [pic] 1, por tanto por la...