TUTORIA 2_REGLAS BASICAS DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LOS LIBERTADORES
FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
ESPACIO ACADEMICO: CALCULO DIFERENCIAL
REGLAS BASICAS DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La regla general para derivación es fundamental, puesto que se deduce directamente
de la definición de derivada, y es muy importante que el lector se familiarice
completamente con ella. Sinembargo, el procedimiento de aplicar la regla en la
resolución de problemas es largo o difícil; por consiguiente, se han deducido de la regla
general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciertas formulas
normales que se presentan con frecuencia.
Es cómodo expresar estas reglas especiales por medio de fórmulas de las cuales se da
a continuación una lista. El lector no sólo debeaprender de memoria cada fórmula
cuando se ha deducido, sino también poder enunciar en palabras la regla
correspondiente.
NOTACIONES PARA LAS DERIVADAS
Algunas de estas notaciones se utilizan en las matemáticas y sus aplicaciones y es
recomendable que el estudiante se familiarice con ellas.
f ´(x) = D x f ( x) = D x y = y´=

dy d
=
f ( x)
dx dx

En las expresiones Dx subíndice x se utiliza paraexpresar la variable independiente. El
símbolo completo se denomina operador diferencial.
REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS DE POLINOMIOS
df dc
1. La regla de la constante: Si f ( x) = c entonces f ′ ( x) =
=
=0
dx dx

La derivada de una función constante es 0. es decir, si c es un número real, entonces
d
(c ) = 0
dx
Demostración
Si Si f ( x) = c , de la definición de la derivada deducimos que

f´( x) = lim

∆x →0

f ( x + ∆x ) − f ( x)
c−c
= lim
=0
∆x → 0 ∆x
∆x

2. La regla de las potencias
Si n es número racional, la función f ( x) = x n es derivable y f ´( x) =

d n
( x ) = nx n −1
dx

Para que f f sea derivable en x = 0 , n ha de ser un número tal que x n −1 esté definido en
un intervalo que contenga a x = 0 .
Demostración
Si n es un entero mayor que 1, del desarrollo del binomioresulta

[ ]

( x + ∆x ) n − x n
d n
x = lim
∆x → 0
dx
∆x

= lim

x n + nx n −1 (∆x) +

∆x → 0

= lim (nxn −1 +
∆x → 0

n(n − 1) x n −2
(∆x) 2 + .......( ∆x) n − x n
2
∆x

n(n − 1)
( ∆x) + .......( ∆x)n −1 + ..)
2!

=n x n-1 + 0 +............+ 0
= n x n-1

3. Regla del múltiplo constante
Si f es derivable y c un número real, entonces cf es también derivable y

d
[cf ( x)] = cf ´(x)
dx

DERIVADAS DELA SUMA EL PRODUCTO Y EL COCIENTE
4. Reglas de la suma y la diferencia
La derivada de la suma ( o la diferencia) de dos funciones derivables es la suma ( o
diferencia) de sus derivadas.

d
[ f ( x) ± g ( x)] = f ´(x) ± g´(x)
dx

Las reglas del producto y del cociente
Las reglas del producto y del cociente no son tan simples como las reglas de la suma y
la diferencia.

5. La regla del productopuede enunciarse como sigue: La derivada de un producto
es igual al primer factor multiplicado por la derivada del segundo, mas el segundo
factor multiplicado por la derivada del primero.
d
[ f ( x) g ( x)] = f ( x) g´(x) + g ( x) f ´(x)
dx

6. La regla del cociente puede enunciarse como sigue: La derivada de un cociente es
igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador menos elnumerador multiplicado por la derivada del denominador y todo esto dividido por el
cuadrado del denominador
d  f ( x)  g ( x) f ´(x) − f ( x) g´(x)
=
si g ( x) ≠ 0
dx  g ( x) 
[g ( x)]2

7. Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones. En términos generales
la siguiente tabla resumen las derivas de funciones de valor real.
Tabla de derivadas
′
+ g) = f ′ + g′

Suma

(f

Constante

(kf)′ = k

f′

Producto

( f .g )′ =

f g′ + fg ′

Cociente

′
f
f ′g − fg ′
  =
g2
g
{ f [g (x )]}′ = f ′[g (x )]g ′(x )

Composición
Inversa

( f )′ (x ) = f ′( f 1 (x ))
′
A)(x ) = n x
−1

−1

n

Potencias

n −1

′
1
′
1
A) x =  x 2  =


2 x

( )

′
′ −1
1
A)  = x −1 = 2
x
 x

( )

B)[ f ( x )] = n[ f ( x )]

n −1

n

B)

[

]

′
f (x ) =

f ′( x )

2 f (x )

′
 1 
− f ′( x...