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Semana 14 [1/19]

Polinomios

8 de junio de 2007

Polinomios

División

Semana 14 [2/19]

Teorema de la División
Al ser (K [x], +, ·) un anillo, ocurre un fenómeno similar al de : Las divisiones deben considerar un posible resto.

Teorema de la División
Sean p, d ∈ K [x] con d = 0. Entonces existe un único par q, r ∈ K [x] tal que 1 p = q ·d +r 2 gr(r ) < gr(d)

Notación
Laecuación (1), se llama división con resto de p por d. El polinomio q se llama cuociente. El polinomio r se llama resto. Cuando r (x) = 0, diremos que d divide a p, lo cual notaremos d | p, al igual que en d | p ⇐⇒ (∃q ∈ K [x]) p = q · d

Æ \ {0}. Es decir,

Para probar este teorema, usaremos un método de división similar al que conocemos en . Lo ejemplificaremos a partir de un ejemplo.Polinomios

División

Semana 14 [3/19]

Teorema de la División: Ejemplo
Calculemos la división entre p(x) = 3x 3 + 2x − 2 y q(x) = x − 4. 3x 3 +2x −2 : x−4 = Para obtener el cuociente, debemos preguntarnos por qué multiplicar el término de mayor exponente de x − 4 para obtener el de 3x 3 + 2x − 2: es decir, por qué multiplicar x para obtener 3x 3 . La respuesta es 3x 2 . Entonces 3x 3 +2x −2 : x−4 = 3x 2 −(3x 3 −12x 2 ) 12x 2 +2x −2 El término 3x 3 − 12x 2 corresponde a la multiplicación de 3x 2 por el divisor x − 4, y aparece restándose para calcular el resto parcial correspondiente. El polinomio 12x 2 + 2x − 2 es el resultado de calcular la resta entre el polinomio original y el término recién obtenido. El proceso continúa iterativamente: x debe ser multiplicado por 12x para obtener 12x2 , así que sumamos 12x al cuociente parcial 3x 2 que llevábamos. 3x 3 +2x −2 : x−4 = 3x 2 +12x 3 2 −(3x −12x ) 12x 2 +2x −2 −(12x 2 −48x) 50x −2

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División

Semana 14 [4/19]

Teorema de la División: Ejemplo
En cada etapa vamos calculando un nuevo resto parcial, y detenemos el proceso cuando este resto tiene grado menor que el de x − 4: 3x 3 +2x −2 : x−4 = 3x 2 +12x +50 3 2−(3x −12x ) 12x 2 +2x −2 −(12x 2 −48x) 50x −2 −(50x −200) 198 Obtenemos así que el cuociente de esta división es q(x) = 3x 2 + 12x + 50, y el resto es r (x) = 198. En términos del teorema de la división, podemos entonces escribir

3x 3 + 2x − 2 = (x − 4)(3x 2 + 12x + 50) + 198.

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División

Semana 14 [5/19]

Teorema de la División
Demostración (Teorema de la División).
Primeroprobaremos la existencia de q y r . Veamos dos casos posibles: Si gr(d) > gr(p). Basta notar que p = 0 · d + p. De donde q = 0 y r = p, satisfacen las condiciones del Teorema. Si gr(d) ≤ gr(p). Ocupamos el procedimiento de división ejemplificado anteriormente, obteniendo: p = q1 · d + r1 r1 = q2 · d + r2 r2 = q3 · d + r3 . . . rn = qn+1 · d + rn+1 ,

con gr(rn+1 ) < gr(d).

¿Por qué gr(rn+1 )
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División

Semana 14 [6/19]

Teorema de la División
Continuación demostración.
Reemplazamos ahora en la primera ecuación, las posteriores: p = q1 · d + r1 = (q1 + q2 ) · d + r2 = (q1 + q2 + q3 ) · d + r3 . . . = (q1 + q2 + · · · + qn+1 ) · d + rn+1 ,

congr(rn+1 ) < gr(d).

Basta entonces definir q = q1 + q2 + · · · + qn+1 , y r = rn+1 . Estos polinomios satisfacen el Teorema de la División. Como ejercicio para el lector, queda formalizar esta demostración como una inducción en el grado de p. Resta ahora probar la unicidad de dichos polinomios. Supongamos que tenemos dos descomposiciones (y probemos que son la misma): p = q1 · d + r1 = q2 · d + r2 .En donde gr(r1 ) < gr(d) y gr(r2 ) < gr(d). Reagrupando, obtenemos (q1 − q2 ) · d = r2 − r1 . Pero como gr(r2 − r1 ) ≤ max(gr(r2 ), gr(r1 )) < gr(d), entonces « gr(d) > gr((q1 − q2 ) · d) = gr(q1 − q2 ) + gr(d), lo cual sólo puede ocurrir si gr(q1 − q2 ) = −∞, o sea, si q1 − q2 = 0 ⇔ q1 = q2 . Como consecuencia, r2 − r1 = 0 · d = 0 y luego r1 = r2 .
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Raíces y factorización...
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