Técnicas Del Cálculo

Cap´ ıtulo 8 Las T´cnicas del C´lculo e a Derivaci´n o
8.1. Derivaci´n de Funciones Compuestas o (Regla de la Cadena)

Sean f y g dos funciones, g diferenciable en x0 y f diferenciable en u0 = g(x0 ), u = g(x), la funci´n compuesta f o g es diferenciable en x0 , y: o [f o g] (x0 ) = f (g(x0 ))g (x0 ) ´ tambi´n si o e y = F (x) = f (g(x)) entonces df dg dy dy du dF = · en x = x0 o bien = · dxdg dx dx du dx

De igual forma: (f o g o h) (x) = f (g(h(x))) · g (h(x) · h (x) y as´ sucesivamente. ı

8.2.

Derivada de la Funci´n Inversa o

Sea y = f (x) continuas y mon´tona, en un intervalo, que es diferenciable en un o dy = f (x0 ) = 0. punto x0 del intervalo, siendo dx Si x y y representan los incrementos correspondientes de las dos variables en el punto x0 , tenemos y = f (x0 ). l´ım x→0 x De lo anterior se sigue que existe una funci´n inversa x = f −1 (y) que es continua, o 1 x 1 = l´ ım ya que cuando a lo menos en el punto y0 = f (x0 ) y l´ ım = y x→0 y→0 y f (x0 ) x 17

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y → 0 tambi´n e

x → 0.

8.3.

F´rmulas de Derivaci´n de las Funciones B´sicas o o a

Sea u y v funciones de x derivables en un punto.1. (un ) = n un−1 u 2. (senu) = (cos u)u 3. (cosu) = (−senu)u 4. (tgu) = (sec2 u)u 5. (cotgu) = (−cosec2 u)u 6. (secu) = (sec u tg u)u 7. (cosecu) = (−cosec u cotgu)u 8. (log u) = 1 u u

9. (au ) = au log a · u 10. (eu ) = eu · u 11. (senh u) = (cos h u)u 12. (cos h u) = (sen h u)u 13. (Arc senu) = √ 14. (Arc tg u) = u = −(Arcos u) , |u| < 1 1 − u2

u = −(Arc cotg u) 1 + u2 u √ = −(Arc cosecu) , |u| > 1 |u| u2 − 1

15. (Arc sec u) =

8.4.

Derivadas de Orden Superior

Si la derivada de orden (n − 1) de una funci´n y = f (x) existe entonces la derivada o de orden n se determina mediante: f (n) (x) = [f (n−1) (x)] En particular f (x) = [f (x)] ; f (x) = [f (x)] y as´ sucesivamente. ı

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Si u y v son funciones derivables nveces, entonces (c1 u + c2 v)(n) = c1 u(n) + c2 v (n) donde c1 y c2 son constantes arbitrarias. Regla de Leibniz.
n

(uv)(n) =
k=0 n k

n (n−k) (k) u ·v , k

donde

=

n! (n − k)!k!

y u(0) = u; v (0) = v.

8.5.

Derivada de una Funci´n Impl´ o ıcita

Si una funci´n derivable y = f (x) satisface la ecuaci´n F (x, y) = 0 entonces o o derivamos la ecuaci´n respecto de x,considerando que y es funci´n de x, es deo o d F (x, y) = 0 y despejamos y = f (x). cir dx Para hallar f (x) se vuelve a derivar respecto de x, la ecuaci´n obtenida y as´ suceo ı sivamente.

8.6.

Derivada de una Funci´n Representada Param´trio e camente

Si el sistema de ecuaciones: x = φ(t); y = ψ(t), α < t < β donde φ(t) y ψ(t) son funciones derivables y φ (t) = 0, define a y = f (x) como unafunci´n continua de x, entonces existe una derivada o f (x) = ψ (t) φ (t)

las derivadas de ordenes superiores, se obtiene mediante f (x) = [f (x)]t [f (x)]t ; f (x) = ;··· φ (t) φ (t)

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en particular para f (x) se obtiene la f´rmula o f (x) = φ (t) ψ (t) − φ (t) ψ (t) [φ (t)]3

8.7.

Problemas Resueltos
(x = 0)

1. Sea f (x) = xr ;r ∈ R entonces f (x) = rxr−1 Demostraci´n. o

Sea xr = er log x , en virtud a la regla de la cadena (xr ) = er log x (r log x) = 1 xr r = rxr−1 x o 2. Obtenga f´rmulas para: a) 1 + 2x + 3x2 + · · · + nxn−1 b) 12 x + 22 x2 + 32 x3 + · · · + n2 xn Soluci´n. o a) Considerando la P.G. de raz´n x, se tiene: o 1 + x + x2 + · · · + xn = (xn+1 − 1)/(x − 1), para x = 1, derivando: (n + 1)xn (x − 1) −(xn+1 − 1) = (x − 1)2

1 + 2x + 3x2 + · · · + nxn−1 = nxn+1 − (n + 1)xn + 1 (x − 1)2

b) Multiplicando la relaci´n encontrada en (a), por x, se obtiene: o x + 2x2 + 3x3 + · · · + nxn = nxn+2 − (n + 1)xn+1 + x , (x − 1)2

derivando nuevamente, multiplicando por x, y ordenando: 12 x + 22 x2 + · · · + n2 xn = n2 xn+3 − (2n2 + 2n − 1)xn+2 + (n + 1)2 xn+1 − x2 − x (x − 1)3

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