una matriz como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior

Cualquier matriz cuadrada se puede descomponer en un tren de matrices elementales (multiplicadas entre si) por una matriz triangular superior, usando la descomposicion de Gauss-Jordan. Estadescomposicion, utiliza combinaciones lineales entre filas para obtener ceros debajo de la diagonal. Luego basta encontrar las matrices responsables de dichas combinaciones y multiplicarlas.

• Antes deempezar con un ejemplo, veamos el siguiente caso:

A=.[..1....3..]
......[..-2...0..]

Vemos que si hacemos la operacion F2+F1→F2 (es decir, sumamos la fila 1 con la fila 2 y el resultado loreemplazamos en la fila 2), obtenemos:

A´=.[..1....3..]
.......[..-1...0..]

Esta nueva matriz A´ es equivalente a multiplicar una matriz "E" por la vieja matriz A:

.[..1....0..] * . [..1....3..] ..= [..1....3..]
.[..1....1..] ... [..-2...0..] ...... [..-1...0..]

Vemos que entonces "E" esta definido como:

E=.[..1...0..]
......[..1...1..]

Justamente, la operacion "F2+F1→F2" se puedetraducir como "partiendo de A, hacer una nueva matriz tal que F1→F1 (es decir, la fila 1 la deje igual) y que "F2+F1→F2". La matriz que representa eso es E. La primera fila de E es (..1...0..), queindica "F1→F1" (es la primera fila de la identidad de 2x2), la segunda fila de E es (..1...1..), que indica F1+F2.

Si ahora, por ejemplo hicieramos 2*F1+F2→F2, es decir, dos veces la fila 1 de A,sumada a la fila 2 nos da la nueva fila 2, obtendríamos:

A´´=.[..1....3..]
........ [..0...0..]

Escrito como un producto de matrices (E´ * A = A´´), observamos que:

.[..1....0..] * . [..1....3..].. = [..1....3..]
.[..2....1..] ... [..-2...0..] ...... [..0...0..]

donde ahora la operacion "2*F1+F2→F2" se ve reflejada en la matriz elemental E´, dada por:

E´=.[..1...0..]
.....[..2...1..]

donde, una vez mas, la primera fila al ser igual a la identidad, da cuenta de *F1→F1", mientras que la segunda da cuenta de "2*F1+F2→F2". Si te fijas, la descomposicion E´ * A = A´´ es lo que...