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CAPITULO 4

AYUDAS GRAFICAS
CARTA DE SMITH Y APLICACIONES
Existen varios métodos de ayudas gráficas para el diseño, acople y solución de
problemas en líneas de transmisión, que han ido evolucionando con el tiempo.
Kernell en 1914, publicó una carta que contenía los valores de funciones
hiperbólicas y trigonométricas en el rango de la variable compleja o del NeperRadian, la cual esaún usada para bajas frecuencias. Sin embargo, para pequeñas
longitudes de onda y bajas pérdidas son complicadas de usar, por lo cual se recurrió
a otras ayudas gráficas como la carta de Smith diseñada en 1940 por Philips Smith.

La carta de Smith se dibuja sobre el plano de coordenadas polares lineales del
coeficiente de reflexión tensión ρ = |ρ| e

jθ

o sobre las coordenadas rectangularesde

la parte real e imaginaria de ρ.
En las cartas comerciales se pueden encontrar diferentes escalas para
determinar los parámetros involucrados en el análisis de líneas de transmisión, ver
figura 4.1. En la misma se puede encontrar:

-

Una escala circular en grados que indica la fase del coeficiente de reflexión θ.

-

Una escala circular en longitudes de onda (λ), indicando losvalores de la misma,
en sentido hacia el generador o hacia la carga.

-

Dos escalas lineales, situadas en la parte inferior derecha, que indican la
magnitud del coeficiente de reflexión de voltaje o de potencia (|ρv| ο |ρp|).y
pérdidas en dB por retorno y reflexión.

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-

Dos escalas situadas en el la parte inferior derecha, que indican pérdidas por
atenuación de la línea (α)lineal y en dB, en sentido hacia la carga o hacia en
generador y ROE lineal y en dB.

Figura 4.1. Carta de Smith.

74

4.1. Ecuaciones para construir la carta de Smith.
La carta está construida sobre el circulo del coeficiente de reflexión ρ =1, para el
análisis se considerará un impedancia cualquiera, representada como
(4.1)

Z=R+jX

En la carta de Smith la impedancia está normalizadaa la impedancia
característica Zo.

Z
= rn + jxn
Zo

(4.2)

Pero además se tiene

V − eγz
V
V e +V e
V + e − γz
Z= =
= Zo
1
V − e γz
I
(V + e −γz − V − eγz )
(1 − + −γz )
Zo
Ve
+ − γz

1+

− γz

(4.3)

Sustituyendo por la expresión del coeficiente de reflexión dada en el capítulo 3
por 3.59, se tiene

Z = Zo

1+ ρ
1− ρ

(4.4)

Y de 4.2, se tiene ademásrn + jxn =

1+ ρ
1− ρ

(4.5)

Pero debido a que el coeficiente de reflexión es un número complejo, dado por

ρ = ρ1 + jρ 2
La expresión 4.5 se puede escribir como

(4.6)

75

rn + jxn =

1 + ρ1 + jρ 2
1 − ρ1 − jρ 2

(4.7)

Manipulando la expresión del lado derecho de la igualdad, se pueden separar
sus partes real e imaginaria y compararlas con rn y xn, y así formar lafamilia de
circunferencias que componen la carta de Smith.

Multiplicando por la conjugada

1 + ρ1 + jρ 2 1 − ρ1 + jρ 2 1 − ρ1 − ρ 2 + 2 jρ 2
*
=
2
2
1 − ρ1 − jρ 2 1 − ρ1 + jρ 2
1 − 2 ρ1 + ρ1 + ρ 2
2

2

Operando, se tiene

1 − ρ1 − ρ 2
rn =
2
2
1 − 2 ρ1 + ρ1 + ρ 2
2

2

(4.8)

y

xn =

2 jρ 2
2
2
1 − 2 ρ1 + ρ1 + ρ 2

(4.9)

Desarrollando la ecuación 4.8, lacual corresponde a la familia de círculos de rn

rn − 2 ρ1rn + ρ1 rn + ρ 2 rn = 1 − ρ1 − ρ 2
2

2

2

2

(4.10)

Agrupando términos de 4.10

rn − 1 − 2 ρ1rn + ρ1 (rn + 1) + ρ 2 (rn + 1) = 0
2

ρ12 + ρ 2 2 − 2 ρ1

2

1 − rn
rn
=
1 + rn 1 + rn

(4.11)

(4.12)

Completando cuadrados y operando:
2


1
r
 ρ1 − n  + ρ 2 2 = 

1+ r 

1 + rn 
n


2

(4.13)

76

La ecuación 4.13 corresponde a la familia de circunferencias que forman los
círculos reales rn de la carta de Smith.

r

C :  n ,0 
1+ r 
n



con centro

1
R=
1+ r 

n


y radio

La tabla 4.1 muestra los valores de cada parámetro de la ecuación 4.13 para
construir la familia de circunferencias de rn.

En al figura 4.2 aparecen...