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Unidad 3.- Inversa y Transpuesta de una Matriz Cuadrada
3.1 Matriz identidad
3.2 Inversa de una matriz
3.3 Matrices equivalentes por renglón
3.4 Matriz transpuesta
3.5 Matriz simétrica
3.6Matrices triangulares
3.7 Repaso
3.8 Tercera evaluación


3.1 Matriz identidad:
La matriz identidad In es una matriz de nxn cuyos elementos de la diagonal principal son la unidad y los demás elementosson cero, entonces:
In = (bij) donde bij =
Ejemplos:
= = =

Teorema: Sea A una matriz cuadrada, entonces A*In = In*A = A.
La matriz In conmuta con toda matriz cuadrada.
Este es uno delos pocos casos donde la multiplicación de matrices si es conmutable.

Nota: Observe que la matriz identidad es la que se desarrolla en los sistema de eliminación Gauss – Jordan.

La matriz identidad esindispensable para el desarrollo de la matriz inversa.


3.2 Inversa de una matriz:
Sean A y B dos matrices de nxn. Suponga que A*B = B*A = In
Si A y B se pueden conmutar, entonces B es la inversade A y se denota por . Entonces se tiene que A * = * A = In
Si A tiene inversa, se dice que es Invertible o No Singular, y su inversa es única.
Si A no tiene inversa entonces se dice que no esinvertible o Singular.
Si dos matrices son invertibles, entonces su producto también es invertible.




Proceso para encontrar la inversa de una matriz nxn.
1. Se escribe la matriz aumentada (A).
2. Seutiliza la reducción por renglones (Gauss - Jordan).
3. Se decide si A es o no invertible.
a) Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz identidad, entonces A es invertible y es lamatriz que se obtuvo a la derecha de la barra vertical.
b) Si la reducción de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical, entonces A es Singular.

Ejemplo 1:
A ==
A es invertible.

Ejemplo 2:
A = A es Singular.


Dada la siguiente matriz, determina si es invertible o singular.
I = Respuesta:
Es una matriz...