Unidad 2 Calculo Vectorial

INTRODUCCIÓN
En este trabajo se verán los temas correspondientes a la segunda unidad, la cual trata acerca de las ecuaciones paramétricas que son ecuaciones aplicadas en el plano cartesiano junto con las curvas planas que también son un tema muy importante de esta unidad.
Estas son curvas con representación de puntos en el plano cartesiano o coordenadas en este. Y por último está el temallamado graficación de curvas planas en coordenadas polares el cual explica cómo se deben graficar las curvas polares en el plano cartesiano.

2.1 ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Reciben este nombre aquellas ecuaciones en las que las variables x y y cada una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto, designando por la letra z la tercera variable, comúnmentellamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general:
x=Fzy=F(z)Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos.
Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas.
En forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual las ecuacionesparamétricas determinan los valores correspondientes a x, y, que representan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos así determinados resulta una curva, que es la representación gráfica de las ecuaciones paramétricas.
CIRCUNFERENCIA
Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M(x,y) un punto de la curva y Θ=ángXOM.

Se tiene, como ecuaciones paramétricas de lacircunferencia:
𝑥=𝑎cos𝜃 𝑦=𝑎sin𝜃
CICLOIDE
Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una recta fija.
Tómese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y sea M el punto fijo que describe la curva.

En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincideen el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A, cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo instante genérico, la distancia OT es igual al arco TM. Teniendo presente que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual al radio multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir: 𝑥=𝑂𝑃=𝑂𝑇−𝑀𝑁=r𝜃−𝑟sin𝜃;𝑦=𝑃𝑀=𝑇𝐶−𝑁𝐶=𝑟−𝑟cos𝜃; 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑥=(𝜃−𝑟sin𝜃); 𝑦=𝑟 1−cos𝜃 ; que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide.
2.2 CURVAS PLANAS Una curva plana es un conjunto C de pares ordenados de la forma (f (t), g (t)) donde f y g son las continuas de un intervalo I.
Por sencillez, frecuentemente se llama curva a una curva plana. La curva C en la definición anterior consta de todos los puntos en un sistema decoordenadas rectangulares de la forma P(t) = (ft, gt), para t en I. Cada P (t) es un punto de la curva. A veces es conveniente imaginar que el punto P (t) traza la curva. Cuando t varía en el intervalo I. Esto es especialmente cierto en las aplicaciones en las que t representa el tiempo y P (t) la posición al tiempo t de una partícula en movimiento.
Sea C una curva que consiste en todos los paresordenados (f (t), g (t)), donde f y g son continuas en un intervalo I. Las ecuaciones
x=f(t) , y=g(t)Para t en I, son ecuaciones paramétricas de C con parámetro t.
Una curva geométricamente hablando, es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa eltérmino curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin formar ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Estarían fuera de esta noción los casos de movimiento rectilíneo. Sin embargo, utilizando la definición matemática, una línea...