Unidad 5. Control

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEPIC
Materia: Control I
Maestro: M.C. Ricardo Beltrán Razura
Alumno: Cristóbal Lerma Villa

OBJETIVO
Conocer y aplicar las técnicas de Routh-Hurwitz y el lugar de las raíces para determinar la estabilidad de los sistemas lineales de control así como las fortalezas y debilidades de los distintos métodos para estudiar la estabilidad de los sistemas lineales decontrol y comprender el efecto de la realimentación en los sistemas de control.
JUSTIFICACIÓN
Dar a conocer los conceptos fundamentales para determinar la estabilidad de los sistemas lineales de control
INTRODUCCION
El lugar de las raíces es una construcción gráfica, en el plano imaginario, de las raíces de la ecuación característica de un lazo de control para diferentes valores dela ganancia ó algún otro parámetro del controlador del lazo de control.
Mediante la construcción del lugar de las raíces se puede estudiar la estabilidad del lazo de control de un proceso y analizar el efecto de cambiar algunos términos del lazo de control en la estabilidad del mismo

CONCEPTO DE ESTABILIDAD EN LOS SISTEMAS LINEALES
La Estabilidad de un sistema de control es su propiedad másimportante, tanto es así que no se puede hablar de sistema de control si éste no es estable.
Un sistema es estable si responde con una variación finita a variaciones finitas de sus señales de entrada. Si se considera un sistema lineal e invariante en el tiempo, la inestabilidad del sistema supondrá una respuesta que aumenta o disminuye deforma exponencial, o una oscilación cuya amplitud aumentaexponencialmente. En esas situaciones el sistema no responde a las acciones de control, por lo que se dice que el sistema se ha ido de control. Este efecto puede provocar situaciones muy peligrosas y fallos catastróficos, de ahí la importancia de estudiar la estabilidad.
Estabilización de sistemas inestables
Para analizar esta ventaja de un sistema retroalimentado, consideremos el siguientesistema:

Si r(t) = u(t) (un escalón unitario), encuentre y grafique y(t). ¿Qué características tiene esta respuesta?
Solución
Y(s)R(s)=Ks-1 Si R(s) = 1/s Y(s)=Ks(s-1)
Desarrollando por fracciones parciales
Ys=-Ks+Ks+1
Obtenemos la transformada inversa
yt=-K1-etut

La señal y(t) tiende a ∞ a medida que t →∞ cuando la entrada es una señal de amplitud constante, esto significa que elsistema es INESTABLE
Consideremos ahora el siguiente esquema de control retroalimentado:

La función de transferencia es: Y(s)R(s)=Ks-1+K
Usando el mismo procedimiento anterior, la señal en el tiempo es:
yt=KK-1(1-e-K-1t)u(t)
¿Qué podemos concluir de esta ecuación?
* La salida es indeterminada si K=1
* Si K<1 el sistema sigue siendo INESTABLE
* El sistema será estable siK>1
* Para K = 2 la respuesta del sistema a una entrada escalón se dibuja de la forma siguiente:

EFECTOS DE LA RETROALIMENTACION EN LA ESTABILIDAD DE SISTEMAS
Los efectos principales al usar retroalimentación son los siguientes:
* Reducción de la sensibilidad a las variaciones de los parámetros de la planta.
* Reducción de la sensibilidad a las perturbaciones de salida.
*Capacidad para controlar el ancho de banda.
* Estabilización de un sistema inestable.
* Capacidad para controlar la respuesta transitoria del sistema.

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ
El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad. Un sistema de control es estable si y sólo si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en elsemiplano izquierdo del plano s .
Consideremos la siguiente función de transferencia de lazo cerrado.
C(s)R(s)=b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=B(s)A(s)
En donde las a y las b son constantes y m ≤ n .
Criterio de estabilidad de Routh.
El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s...