Unidad 5 De Cálculo Diferencial

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.
Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.
Sea  una curva, y  un punto regular de esta, es decir un punto noanguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en  la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a  en  es la recta  que pasa por  y que tiene la misma dirección que  alrededor de.
La tangente es la posición límite de la recta secante () (el segmento  se llama cuerda de la curva), cuando  es un punto de  que se aproxima indefinidamente al punto  ( se desplaza sucesivamente por Si  representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta  tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde  son las coordenadas del punto  y  las del punto. Por lo tanto, la pendiente de la tangente TAserá:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es:

La recta ortogonal a la tangente  que pasa por el punto  sedenomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por . Siendo su ecuación:

Suponiendo claro está que. Si  entonces la recta normal es simplemente. Esta recta no interviene en el

5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.
  



   La derivada de una función en un punto es la pendiente de la rectatangente a la función en ese punto.   
§         
La ecuación de la recta tangente a  una función en el punto  A( a , f ( a ) )  viene dada por la expresión:   y – f ( a ) = f ’ ( a ) [ x – a ]
§         
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
§         
Si en un punto de la gráfica de una función se produce un cambio brusco de dirección ( “un pico” o “punto anguloso”), la función no esderivable en dicho punto.

TEOREMA DE ROLLE            
Si  f  es una función continua en  [ a , b ], derivable en  ( a , b )  y además  f ( a ) = f ( b ), entonces existe al menos un punto  c Î ( a , b )  en el que  f ’ ( c ) = 0.
          2.1     Interpretación geométrica
          
Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto  c Î ( a , b )  en el que su rectatangente es paralela al eje de abscisas (es decir, es la recta  y = f ( c ) ).




TEOREMA DEL VALOR MEDIO (TEOREMA DE LAGRANGE)            

Si  f  es una función continua en  [ a , b ]  y  derivable en  ( a , b ), entonces existe al menos un punto  cÎ(a,b)  en el que  f ’ (c) = [ f ( b ) – f ( a ) ] / ( b – a ).
          3.1     Interpretación geométrica          
Si se cumplen las hipótesisdel teorema, existe al menos un punto  c Î ( a , b )  en el que su recta tangente es paralela al segmento determinado por los puntos  A( a , f ( a ) )  y  B( b , f ( b ) )
TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO (TEOREMA DE CAUCHY)            
Si  f  y  g  son dos funciones continuas en  [ a , b ]  y  derivables en   ( a , b ),   entonces  existe  al  menos  un   punto  c Î ( a , b )  en el que severifica:   f ’ ( c ) [ g ( b ) – g ( a ) ] = g ’ ( c ) [ f ( b ) – f ( a ) ].
          Es inmediato comprobar que el teorema del valor medio es un caso particular del teorema del valor medio generalizado. Para ello, basta tomar la función  g ( x ) = x.
4.1     Actividades:
a)    
Dibuja en tu cuaderno las  gráficas  de  las  funciones   f ( x ) = sen ( x )    y    g ( x ) = cos ( x)   en  el  intervalo   [ 0 , p ].
b)    
¿Verifican dichas funciones las hipótesis del teorema del Valor Medio generalizado en ese intervalo? En caso afirmativo, calcula, aproximando hasta las milésimas, el valor del punto “c”, cuya existencia garantiza el citado teorema.
 
 



5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y...