Unidad 5.Matematicas

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN DE EDUCACIÓN SUPERIOR
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN
SUPERIOR TECNOLÓGICA
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PACHUCA

CARRERA:
INGENIERÍA INDUSTRIAL

VEGA HERNÁNDEZ NOEMI ROCIO

MATEMATICAS IV
UNIDAD V
TEMAS:
* BASE & DIMENSIÓN
* CAMBIO DE BASE
* PRODUCTO INTERNO
* BASE ORTONORMAL
* ORTOGONALIZACIÓN

JAIME BARRERA

Pachuca de Soto,Hidalgo 31 julio de 2012

BASE & DIMENSIÓN

Teorema de la base. Dimensión.
Teorema. Sea V un espacio vectorial. Si G = {u1,..., um} es un sistema de generadores de V, y S = {v1,..., vn} es un sistema linealmente independiente, entonces n ≤ m.

Prueba: Supongamos que n>m. Como G es un sistema de generadores, podemos escribir cada vi como combinación lineal de los elementos de G:

Porotra parte, como S es linealmente independiente, la ecuación

Solo puede admitir la solución trivial, x1 = ··· = xn =0. Ahora bien, sustituyendo cada vi, obtenemos la ecuación equivalente:

donde, sacando factor común los ui, se tiene:

Una posible solución para esta ecuación se obtendría si cada coeficiente fuera cero, es decir, si

Este sistema homogéneo tiene, como máximo, rango m, yaque tiene m filas. Ahora bien, si n>m, el Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que es un sistema compatible indeterminado, es decir, existe una solución para x1,...,xn donde no todos son cero. Esto contradice que S sea un sistema libre. .
La dimensión de un espacio vectorial:
Teorema (Teorema de la base). Sea V un espacio vectorial de tipo finito. Todas las bases de V tienen el mismo númerode elementos. A este numero se le llama dimensión de V.

Prueba: Sean B1 y B2 dos bases de V, de m y n vectores respectivamente. Como B1 es sistema de generadores, y B2 es libre, entonces n ≤ m por el Teorema Pero como B2 es sistema de generadores, B1 es libre, se tiene m ≤ n. Por tanto, m = n.

Ejemplo 4.4.1. El espacio vectorial Rn tiene dimensión n. Una base, llamada la base canónica, estáformada por los vectores {e1,..., en´}, donde

Ejemplo. El conjunto de polinomios, R[x], es un espacio vectorial de dimensión infinita. En efecto, supongamos que existe un sistema de generadores G de R[x], formado por un número finito de polinomios. Sea entonces m el mayor grado de todos los polinomios de G. Entonces, cualquier combinación lineal de los polinomios de G tiene como máximo gradom, luego no podríamos obtener los polinomios de grado mayor que m, y G no seria sistema de generadores. Por tanto, dim(R[x]) = 1.

CAMBIO DE BASE
Observemos que las coordenadas de un vector de V dependen de la base B que hayamos elegido. Si tuviéramos otra base B 0, las coordenadas del mismo vector serían diferentes.
Vamos a ver entonces cómo están relacionados estos dos tipos de coordenadas.Supongamos que tenemos un espacio vectorial V de dimensión n, y consideremos dos bases de V: B = (u1,..., un) y B’= (u1’,..., un’). Como B es base, podremos escribir cada vector de B’ respecto a B, es decir, tendremos:

Con esta notación, se tiene lo siguiente:
Teorema. Si las coordenadas de v Є V respecto a B y B´ son, respectivamente vB=(x1,...,xn) y vB0 =(x1’ ,...,xn’ ), entonces se tienela relación:

Prueba: Por un lado, tenemos v = x1u1 + ··· + xnun. Y por otro lado, v = x1’u1’ + ··· +xn’ un’. Si sustituimos cada ui’ por a1iu1 +a2iu2 +··· +aniun en la expresión anterior, y agrupamos coeficientes, obtendremos:

Como la forma de expresar v como combinación lineal de B es única, los coeficientes de esta ultima combinación lineal han de ser iguales a x1,...,xn, lo que demuestrael resultado.
Una de las principales ventajas de trabajar con Kn es que podemos usar matrices. El teorema anterior, por ejemplo, se puede ver mucho mejor de forma matricial. Sea

la matriz del cambio de base. Es decir, las columna i de AB’, B contiene las coordenadas del vector vi’ de B’ respecto de la base B. Entonces la relación entre las coordenadas (x1,...,xn) y (x1’ ,...,xn’), respecto...