Unidad 5

A continuación, veremos algunas definiciones que nos permitirán representar formalmente el concepto de relación.

Par ordenado:
Llamamos par ordenado a b y lo indicamos (a ; b) al conjunto de elementos a, b con un criterio de orden que
indica cuál es el primer elemento y cuál es el segundo.

Producto cartesiano:
Sean A y B dos conjuntos, llamamos producto cartesiano entre A y B y loindicamos
A x B al conjunto:
C = A x B = { (x; y) tal que x A x B }

Relación binaria:
Una relación (binaria) R de un conjunto X a un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X x Y.
Si (x; y) R se escribe x R y se dice que x está relacionado con y. En el caso de X = Y se afirma que R
es una relación (binaria) sobre X.

Dominio:
Se llama dominio de la relación R al conjunto:
DR= { x X tal que (x; y) R para algún y Y }

Contradominio:
Se llama contradominio, ámbito o imagen de la relación R al conjunto:
IR = {y Y tal que (x; y) R para algún x X}
Tomando el ejemplo anterior:
DR = { Juan, María, José, Carlos }
IR = { Matemática Discreta, Física, Análisis Matemático I, Algebra I }

Otro ejemplo:
Sea R la relación en X = { 1, 2 , 3, 4 } definida por (x; y)R si x < y.
Entonces, la relación resultante es:
R = { (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4) }
El conjunto dominio de la relación R:
DR = {1, 2, 3 }
Y el conjunto imagen:
IR = { 2, 3, 4 }
Tengamos en cuenta que:
1. DR A
2. IR B
Relación recíproca o inversa:
Sean A y B dos conjuntos y la relación
R : A B, llamamos relación recíproca o inversa de R a
R-1: B A tal que R-1= { (y;x) / (x; y ) R }
Es decir que la relación inversa es la formada por los inversos de los pares ordenados de la relación original.
Consideremos que:
1. DR-¹ B
Puede demostrarse de la siguiente manera:
y DR-¹ existe x A tal que (x; y) R y B.
Por definición de inclusión queda probado.
Las demostraciones de los puntos que siguen quedan como ejercicio. También podés consultarlasen la bibliografía
de la cátedra en el Capítulo 7
2. IR-¹ A
3. DR-¹ = IR
4. IR-¹ = DR
Relación complementaria
Sean A y B dos conjuntos y sea la relación R: A B, llamamos relación complementaria de R a:
_ _
R: A B tal que R = { (x; y) / (x; y) R }
_
R = (A x B) – R
Por ejemplo:
Sea A = { 1, 2 } y B = { a, b }
R = { (1; a), (1; b), (2; b) }
A x B = { (1; a), (1; b), (2; b), (2; b) }3
e
RELACIONES
Unidad 2
Entonces:
_
R = { (2; b) }
Función
Sean A y B dos conjuntos y sea la relación A B, se dice que R es función cuando cumple
simultáneamente con las condiciones de existencia (todos los elementos tienen imagen) y unicidad (esa imagen
es única).
R : A B tal que:
1. DR = A (cumple con Existencia)
2. Si (x; y) R (x; z) R y = z (verifica Unicidad)
En estecaso, se denota, f: A B.
Recordemos entonces que una función es una clase especial de relación.
Por ejemplo:
1. La relación f = { (1; a), (2; b), (3; a) }
Donde X = { 1, 2, 3 } , Y = { a, b, c } es un función de X a Y.
Df = X
If = { a, b } Y
La relación f cumple existencia y unicidad.
2. La relación
R = { (1; a), (2; b), (3; c), (1;b) }
Donde X = { 1, 2, 3 } , Y = { a, b, c } no es unfunción de X a Y.
No se cumple la unicidad ya que:
Se tiene que (1;a) R (1;b) R pero a b.
3. La relación R = { (1;a) , (2;a) }
Donde X = { 1, 2, 3 } , Y = { a, b, c } no es un función de X a Y.
No se cumple la existencia ya que DR X.
Antes de continuar, te proponemos que recurras a los ejercicios de relaciones de la Guía y los resuelvas.
Las relaciones pueden representarse de diferentesformas. Para las relaciones definidas entre conjuntos finitos son
importantes dos: a través de un diagrama cuando los conjuntos no son muy grandes y, en el caso de que los
conjuntos sean iguales, la representación a través de un dígrafo -o utilizando matrices booleanas-. Veamos cada una
de ellas.
REPRESENTACIÓN DE LA RELACIÓN A TRAVÉS DE UN DÍGRAFO
Una manera útil de representar una relación...