UNIDAD 5

UNIDAD 5. LA PARÁBOLA Y SU ECUACIÓN CARTESIANA

ECUACIÓN CARTESIANA DE UNA PARÁBOLA
HORIZONTAL CON VÉRTICE EN EL ORIGEN

Conceptos clave:

1. Lugar geométrico
Se llama lugar geométrico o gráfica de una ecuación al conjunto de puntos
cuyas coordenadas satisfacen esa ecuación.
2. Definición de parábola
Se llama parábola al lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran
a la misma distanciade un punto fijo y de una recta también fija.
3. Foco de una parábola
Se llama foco de la parábola al punto fijo mencionado en la definición.
4. Directriz de una parábola
Se llama directriz de la parábola a la recta fija mencionada en la definición.
5. Eje focal de una parábola
El eje focal es la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.
6. Vértice de una parábola
El vértice deuna parábola es el punto donde ella intersecta al eje focal.
Plantearemos un problema en el que se tiene la necesidad de analizar una
parábola.
Ejemplo 5.1

Unidad 5 La parábola y su ecuación cartesiana

5-1

Problema del espejo
¿Qué ecuación le corresponde a la parábola utilizada para construir el
espejo reflector de un radiotelescopio?
Para que logres los aprendizajes que nos proponemos enesta unidad, colocaremos la parábola y los elementos que la constituyen, en un sistema de coordenadas cartesianas.
Como primer caso colocaremos el vértice de la parábola en el origen y su eje
focal sobre el eje X.

VV

F

F

P 1 Si llamamos p a la distancia del foco al vértice ( p = VF ), ¿qué coordenadas tiene el foco F( ___, ___ )?
Respuesta
P1 Las coordenadas del foco serán F(p, 0).
Considerandola definición de parábola y el hecho de que el vértice es un
punto de la parábola:
P 2 ¿Qué clase de recta es la directriz y cuál es su ecuación?

5-2

Unidad 5 La parábola y su ecuación cartesiana

Respuesta
P2 La directriz es una recta vertical y su ecuación es x = - p
Ecuación cartesiana de una parábola con vértice en el origen y eje focal
sobre el eje X

A

Si suponemos que el punto decoordenadas variables P(x ,y), pertenece a la parábola, sus coordenadas deben cumplir la condición
establecida por la definición:

P(x ,y )

PF = PA
Estarás de acuerdo en que

F(p,0)

PF  ( x  p ) 2  ( y  0) 2

Con un poco más de esfuerzo
verás que PA  x  p .

V

Por lo tanto:
( x  p) 2  y 2  x  p

P 3 Eleva al cuadrado ambos miembros de esta igualdad, para eliminar el
radical y el valorabsoluto.
P3

𝑥−𝑝

2

+ 𝑦2

2

= 𝑥 + 𝑝 2; 𝑥 − 𝑝

2

+ 𝑦2 = 𝑥 + 𝑝

2

Respuesta
P 4 Desarrolla los binomios al cuadrado.
Respuesta
P4 x2 - 2px + p2 + y2 = x2 + 2px + p2
P 5 Reduce términos semejantes.

Unidad 5 La parábola y su ecuación cartesiana

5-3

Respuesta
P5 y2 = 4 px
Conclusión
La ecuación que cumplen todos los puntos que forman una parábola con vértice en el origen y eje focal el eje X, a laque llamaremos horizontal, es: y2 = 4px
Donde el foco tiene coordenadas F(p,0) y su directriz es la recta vertical x = -p
Otro elemento útil al analizar una parábola es la medida de una cuerda perpendicular al eje, que pasa por el foco, llamada lado recto.
En esta figura, el lado recto es
el segmento BC.

9
8
7

B

6

Por la ubicación de los puntos
B y C, conocemos el valor de su
abscisa, paraambos x = p .

B

5
4

Las coordenadas de B son
B(p, y) y las de C: C(p,- y)

3
2
1
0
-3

-2

- 1- 1 0

1

2

3

4

-2
-3
-4

F5
(
p,
0)

6

7

Para encontrar la coordenada y de cada uno de ellos usaremos el hecho de que pertenecen
a la parábola y por lo tanto sus
coordenadas cumplen la ecuación
y2 = 4px:

-5
-6
-7

C

y2= 4p(p) = 4p2; y  4 p 2 ;

C

y  2 p

-8
-9

Y entonces B(p,2p) y C(p,-2p)Ahora sabemos que B tiene coordenadas B(p, 2p) y C(p, - 2p), y podemos
obtener la longitud del lado recto:
L.R. 

5-4

 p  p 2  2 p  2 p 2

 4p ;

L.R.  4 p

Unidad 5 La parábola y su ecuación cartesiana

Ejemplos
5.2. Encuentra la ecuación de la parábola con
vértice en el origen, eje focal el eje X y foco F(1.5,0)
La ecuación de este tipo de parábolas es
2

y = 4px y su foco tiene...