unidad 6 sistemas lineales
Páginas: 15 (3516 palabras)
Publicado: 3 de octubre de 2014
6. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
Un sistema en tiempo continuo viene caracterizado por magnitudes o señales que toman valor en cada instante de tiempo
Señales continuas frecuentes
Descripción de STC en base a ecuaciones diferenciales
con F en general no lineal.
Particularización al caso de F combinación lineal de salidas y entradasObjetivo: Determinación de la salida y(t) a partir de la entrada u(t) (solución de la ecuaciones diferenciales)
Sistemas Lineales e Invariantes
Los sistemas lineales poseen la propiedad de superposición: la respuesta del sistema ante un conjunto de entradas simultáneas se puede descomponer en la suma de las respuestas individuales.
Un sistema en tiempo continuo definidomediante ecuaciones diferenciales se dice que es lineal si se puede expresar como una combinación lineal de derivadas de la salida y la entrada en la forma
Donde y son constantes o funciones del tiempo t. En el caso de que los coeficientes no dependan explícitamente del tiempo el sistema se dice que es invariante en el tiempo.
En el caso de que los coeficientes no cumplan lascondiciones reseñadas anteriormente los sistemas se denominan No-lineales.
En Física, la mayor parte de las relaciones que definen a un sistema son No-lineales, y es más, los sistemas lineales son una particularización de los sistemas No-lineales en rangos limitados de operación.
Algunos tipos de relaciones No-lineales: valor absoluto, saturación, espacio muerto, relé ideal,…
La característicamás importante de los sistemas No-lineales y a la vez limitantes es la no aplicación del principio de superposición.
La solución de los sistemas No-lineales presenta las siguientes limitaciones:
1. No son generalizables, esto es, las conclusiones extraídas solo son válidas para las condiciones iniciales y parámetros con que han sido determinadas.
2. No existen solucionesanalíticas, por lo que se han de obtener en forma numérica mediante simulación.
La técnica de linealización consiste en desarrollar formas linealizadas de los sistemas No-lineales originales en torno a un punto llamado de operación nominal mediante técnicas de aproximación.
La forma linealizada obtenida será válida solo para pequeñas variaciones en torno al punto de operación nominal.
6.1.TRANSFORMADA DE LAPLACE
La técnica de la transformada de Laplace se utiliza para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, transformando estas en ecuaciones algebraicas lineales.
La transformada de Laplace de una función se define como
Pasando del dominio temporal al dominio complejo, siendo
el par función-transformada.
Propiedades de la Transformadade Laplace
Se exponen un conjunto de propiedades de la transformada que harán más fácil su cálculo.
1. Linealidad
2. Desplazamiento
3. Amortiguación
4. Derivación
En el caso más general
5. Integración
6. Multiplicación por potencias de t
7. Producto
8. Teorema del Valor Final
Laaplicación de la transformada de Laplace a las ecuaciones diferenciales que definen a un sistema lineal e invariante conducen a un conjunto de ecuaciones algebraicas en s
Transformada Inversa de Laplace
La transformada inversa de Laplace recupera una función a partir de su transformada, según
El cálculo de la transformada inversa no se suele hacer según su fórmula de definición, sinoaprovechando el conocimiento de la transformada directa.
En la mayoría de las situaciones que se van a encontrar, la cuya transformada inversa se quiere hallar es una función racional
Con
El cálculo de la transf. Inversa se realizará descomponiendo Y(s) en fracciones simples. Para ello se calculan las raíces del denominador D(s) = 0.
La resolución de esta ecuación llamada ecuación...
Un sistema en tiempo continuo viene caracterizado por magnitudes o señales que toman valor en cada instante de tiempo
Señales continuas frecuentes
Descripción de STC en base a ecuaciones diferenciales
con F en general no lineal.
Particularización al caso de F combinación lineal de salidas y entradasObjetivo: Determinación de la salida y(t) a partir de la entrada u(t) (solución de la ecuaciones diferenciales)
Sistemas Lineales e Invariantes
Los sistemas lineales poseen la propiedad de superposición: la respuesta del sistema ante un conjunto de entradas simultáneas se puede descomponer en la suma de las respuestas individuales.
Un sistema en tiempo continuo definidomediante ecuaciones diferenciales se dice que es lineal si se puede expresar como una combinación lineal de derivadas de la salida y la entrada en la forma
Donde y son constantes o funciones del tiempo t. En el caso de que los coeficientes no dependan explícitamente del tiempo el sistema se dice que es invariante en el tiempo.
En el caso de que los coeficientes no cumplan lascondiciones reseñadas anteriormente los sistemas se denominan No-lineales.
En Física, la mayor parte de las relaciones que definen a un sistema son No-lineales, y es más, los sistemas lineales son una particularización de los sistemas No-lineales en rangos limitados de operación.
Algunos tipos de relaciones No-lineales: valor absoluto, saturación, espacio muerto, relé ideal,…
La característicamás importante de los sistemas No-lineales y a la vez limitantes es la no aplicación del principio de superposición.
La solución de los sistemas No-lineales presenta las siguientes limitaciones:
1. No son generalizables, esto es, las conclusiones extraídas solo son válidas para las condiciones iniciales y parámetros con que han sido determinadas.
2. No existen solucionesanalíticas, por lo que se han de obtener en forma numérica mediante simulación.
La técnica de linealización consiste en desarrollar formas linealizadas de los sistemas No-lineales originales en torno a un punto llamado de operación nominal mediante técnicas de aproximación.
La forma linealizada obtenida será válida solo para pequeñas variaciones en torno al punto de operación nominal.
6.1.TRANSFORMADA DE LAPLACE
La técnica de la transformada de Laplace se utiliza para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, transformando estas en ecuaciones algebraicas lineales.
La transformada de Laplace de una función se define como
Pasando del dominio temporal al dominio complejo, siendo
el par función-transformada.
Propiedades de la Transformadade Laplace
Se exponen un conjunto de propiedades de la transformada que harán más fácil su cálculo.
1. Linealidad
2. Desplazamiento
3. Amortiguación
4. Derivación
En el caso más general
5. Integración
6. Multiplicación por potencias de t
7. Producto
8. Teorema del Valor Final
Laaplicación de la transformada de Laplace a las ecuaciones diferenciales que definen a un sistema lineal e invariante conducen a un conjunto de ecuaciones algebraicas en s
Transformada Inversa de Laplace
La transformada inversa de Laplace recupera una función a partir de su transformada, según
El cálculo de la transformada inversa no se suele hacer según su fórmula de definición, sinoaprovechando el conocimiento de la transformada directa.
En la mayoría de las situaciones que se van a encontrar, la cuya transformada inversa se quiere hallar es una función racional
Con
El cálculo de la transf. Inversa se realizará descomponiendo Y(s) en fracciones simples. Para ello se calculan las raíces del denominador D(s) = 0.
La resolución de esta ecuación llamada ecuación...
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