Unidad_ii

La teora de los procesos estocsticos se centra en el estudio y modelizacin de sistemas que evolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo a unas leyes no determinsticas, esto es, de carcter aleatorio. De este modo, la probabilidad de cada suceso de S se puede trasladar a la probabilidad de que un valor de X (v.a.) caiga en un cierto intervalo o conjunto de nmeros reales. Si a todoesto se le aade una dimensin temporal, se obtiene un proceso estocstico. En general trabajamos con procesos estocsticos en cualquier caso en que intentamos ajustar un modelo terico que nos permita hacer predicciones sobre el comportamiento futuro de un proceso. Un ejemplo particularmente importante lo proporcionan las denominadas Series de Tiempo o Series Temporales, que registran observaciones dedeterminado proceso en funcin del tiempo. Procesos Aleatorios o Estocsticos Definicin 1 se denomina proceso aleatorio o estocstico a toda variable que evoluciona a lo largo del tiempo de forma total o parcialmente aleatoria. Un ejemplo, es la temperatura en Madrid, aumenta durante el da y baja durante la noche aumenta en el verano y desciende mucho en invierno (nueve meses de invierno y tres deinfierno, que se dice del clima castellano) su variacin es parcialmente determinstica y parcialmente aleatoria. Figura 2.1 Temperaturas mximas y mnimas en Madrid Definicin 2 es toda experiencia que genere una secuencia de valores modelizables como variables aleatorias. Cada experiencia individual tiene un posicionamiento, o sea un orden en la experiencia global. Definicin 3 el conjunto defunciones temporales que resultan de un experimento particular, es decir, cada vez que se realiza el experimento, se produce como salida una determinada seal. La aleatoriedad radica en saber cual de todas las funciones saldr. Adems, en cada instante de tiempo tk, se puede definir una variable aleatoria que podra llamarse xtk. Queda claro que la diferencia fundamental entre una variable aleatoria y unproceso aleatorio es la dependencia con la variable tiempo. Figura 2.2 Procesos Estocsticos Ejemplo suponga un proceso estocstico definido como x(t)at donde a est uniformemente distribuida entre 0 y 1. Cada vez que se realiza el experimento, la salida es una recta de pendiente diferente. Para un tiempo dado, digamos tt0, se tendr una v.a xt0 at0, que puede tomar valores entre 0 y t0. Una forma decaracterizar el proceso x(t) es a travs de la definicin de una funcin conjunta de infinitas variables aleatoria correspondientes a tiempos distintos tk. Tipos de Procesos Aleatorios Los procesos aleatorios son clasificados de acuerdo a las caractersticas de t y de la variable aleatoria X(t) en el instante t. Si t tiene un rango de valores continuo dentro de uno o varios intervalos en la recta realR1, entonces X(t) es llamado un proceso aleatorio de tiempo continuo. Si t puede tomar una cantidad finita, o infinita numerable, de valores, entonces X(t) es llamado un proceso aleatorio de tiempo discreto, o una secuencia aleatoria. Generalmente se denota a las secuencias aleatorias por X(n), donde n representa a tn. X(t) X(n) es un proceso (o secuencia) con estados o valores discretos si losvalores que puede tomar son finitos (o infinito numerable). Si no, es un proceso (o secuencia) aleatorio con continuidad de valores o estados (no hay saltos). Notar que continuo o discreto se refiere a las caractersticas de la amplitud de X(t), y proceso y secuencia a las caractersticas de t. Otro atributo que es usado para clasificar a los procesos aleatorios es la dependencia de la estructuraprobabilstica de X(t) con t. Si cierta distribucin de probabilidad o promedio no depende de t, entonces el proceso se denomina estacionario. Si no, es llamado no estacionario. As, los procesos estocsticos se clasifican en Continuo de variable continua el crecimiento de las personas. Continuo de variable discreta situacin de encendido o apagado de una lmpara. Discreto de variable continua...