unidad10apoliedrosycuerposderevolucion

Poliedros regulares
Cuerpos de revolución
Poliedro.
Un poliedro es un cuerpo limitado por caras poligonales.

Ángulo diedro. Ángulo poliedro
Se llama ángulo diedro de un poliedro el que está formado por dos caras que tienen una arista
común.
Se llama ángulo poliedro aquel en el cual concurren tres o más caras.

Orden de un vértice.
Se llama orden de un vértice al número de caras que concurren enel vértice.

Poliedro convexo, poliedro cóncavo
Un poliedro es convexo si cualquier sección plana del poliedro es convexa. El contrario se llama
polígono cóncavo.

poliedro convexo poliedro cóncavo

Teorema de Euler.
En un poliedro convexo se cumple que el número de caras más el de vértices es igual al número
de aristas más dos.

C+V=A+2
Poliedro regular
Poliedro regular es aquel que tiene todaslas caras polígonos regulares iguales y todos los vértices
son del mismo orden.
Poliedros regulares sólo hay 5.

Tetraedro

Cubo o hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Desarrollo del poliedros regular. Áreas y volúmenes.
Nombre
Tetraedro

Desarrollo

área

A=a

Volumen

3

V=

A = 6a 2

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

2

a3 2
12

V = a3

A = 2a 2 3

V=

a3 2
3

A = 3a2 25 + 10 5

V=

a3
(15 + 75 )
4

A = 5a 2 3

V=

5a 3
3+ 5
12

Icosaedro

(

)

Otros poliedros: Prismas y pirámides.
altura

Prisma.

base

Los prismas son los poliedros que
tienen dos caras (polígonos) iguales
y paralelas llamadas bases y las
otras caras laterales son paralelogramos.

arista
lateral

Según sean los polígonos base los
prismas es clasifican en: triangulares,
cuadrangulares, pentagonales, etc.

arista
basebase

Llamamos altura de un prisma a la distancia entre las dos bases.
Prisma regular.
Se llama prisma regular al prisma recto que las bases son polígonos regulares.

Paralelepípedo.
Un paralelepípedo es un prisma que las bases son paralelogramos, es decir, tiene 6 caras
paralelas dos a dos.
Los paralelepípedos rectos se llaman ortoedros.

Ortoedro o paralelepípedo recto

El ortoedro tal quetodas las caras son cuadrados iguales se llama cubo o hexaedro.
Pirámide.
Les pirámides son los poliedros que
una de las caras (llamada base) es
un polígono y las otras caras (llamadas
laterales) son triángulos que tienen un
vértice común.

Arista
lateral

Según sean los polígonos base las
pirámides es clasifican en: triangulares,
cuadrangulares, pentagonales, etc.

Cara
lateral

Altura

base
Aristabase

Llamamos altura de una pirámide a la distancia entre el vértice y la base.
Pirámides regulares.
Las pirámides regulares son las que tienen por base un polígono regular y les caras laterales son
triángulos isósceles iguales.
Se llama apotema de una pirámide regular a la altura de cualquier triángulo de la cara lateral.
Tronco de pirámide
Tronco de pirámide es la parte de
pirámide comprendidaentre la base
y una sección paralela a la base.

Áreas de prismas y pirámides.
Prisma recto:
S = 2Sb + SL
Sb área del polígono base
S L área lateral, S L = P ⋅ h ,
donde P es el perímetro de la base y h es la altura

Pirámide regular:
S = Sb + SL
Sb área del polígono regular base
P ⋅ ap
S L área lateral, S L =
, donde P es el perímetro de la base y ap es la altura de la cara lateral
2
(apotema)Tronco de pirámide regular:
S = SB + Sb + SL
S B área del polígono regular base mayor. Sb área del polígono regular base menor. S L área
lateral que son trapecios.
Volúmenes de prismas y pirámides.
Prisma:
V = Sb ⋅ h
Sb área del polígono base, h es la altura.
Pirámide:
S ⋅h
V= b
3
Sb área del polígono base, h es la altura.
Tronco de pirámide:
1
V = SB + Sb + SB ⋅ Sb h
3
donde S B área del polígonoregular base mayor. S b área del polígono regular base menor.
h es la altura del tronco de pirámide.

(

)

Ejercicios de autoaprendizaje:
a) Observa el cubo y prueba que cumple el teorema de Euler:
El cubo o hexaedro tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas.
Entonces: C+V=A+2
6 + 8 = 12 + 2
Para comprobar el teorema de Euler de los poliedros es conveniente construirlos.

b) Calcula la arista y el...