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UNIDAD 3: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES CONTINUAS.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
3.1 VARIABLE ALEATORIA.
Dado un experimento aleatorio, definimos variable aleatoria como una aplicación (función) que asigna, a
cada elemento del espacio muestral, un número real. Las variables aleatorias se representan por X, Y, Z…
Variable aleatoria discreta: si toma un número finito de valores o infinitonumerable (por ejemplo:
números enteros).
EJEMPLOS:

Número de hijos de las familias de un país.
Número de personas de una cola.

Variable aleatoria continua: la variable toma todo un intervalo de la recta real. Número infinito no
numerable (números decimales).
EJEMPLOS:

Peso de un niño al nacer.
Estatura de un grupo de alumnos.

3.2 FUNCIÓN DE DENSIDAD Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN PARA VARIABLESALEATORIAS CONTINUAS.
Histograma de frecuencias relativas

f ( x)  función de densidad

Al ir tomando intervalos cada vez más pequeños, el histograma se aproximará a una curva que describe el
comportamiento de la variable. Está curva es la gráfica de f (x) denominada función de densidad.
DEFINICIÓN: Una función y  f x  es la función de densidad de una variable aleatoria continua X si:
a.

f ( x)  0en el intervalo de definición.

b. El área encerrada por la curva es 1.
c. La probabilidad de que X tome valores en x1 , x2  es el área bajo la curva correspondiente a este
intervalo.

A
P( x1  X  x2 )  A 



x2

x1

f ( x) dx

1

DEFINICIÓN: La función de distribución

F xi   P( X  xi )  

es

xi



f ( x ) dx , es decir,

F xi   P( X  xi )  al área encerrada por la curva y f x  y el eje de abscisa, OX, en el intervalo

3.3 DISTRIBUCIÓN NORMAL
Muchas de las funciones de densidad de las variables aleatorias
continuas tienen como gráfica la campana de Gauss, son las llamadas
Distribuciones “NORMALES”.

Una distribución normal está determinada cuando conocemos su media,  , y su desviación típica,  ,

X  N ( , )
La función de densidad de una variable aleatoriacontinua con distribución normal, X  N ( , ) , tiene
por expresión: X  N (  ,  )  f x  

1

 2

e

1  x 
 

2  

2

La expresión analítica de la función es compleja pero su representación gráfica, la campana de Gauss,
nos permite descubrir propiedades.
 Es una función definida para cualquier valor de
Dom f x    ,    
 Es una función simétrica respecto a la rectavertical x =  .

x,

es

decir,

su

dominio

es:

 Simétrica respecto a x = 
 El eje de abscisas (eje OX) es una asíntota horizontal.

1 
 Tiene un máximo en x =  . El máximo es el punto:   ,

  2 
 El área encerrada entre la curva f (x) y el eje de abscisas es 1, puesto que f (x) es una función de
densidad.

2

OBSERVACIONES:
Área = 0,6826
Es decir, P    X      0,6826 
Aproximadamente el 68,26 % de los valores de X están entre

  y   
Área = 0,9544
Es decir, P  2  X    2   0,9544 
Aproximadamente el 95,44 % de los valores de X están entre

  2 y   2
Área = 0,9974
Es decir, P  3  X    3   0,9974 
Aproximadamente el 99,74 % de los valores de X están entre

  3 y   3
EJEMPLO 1: Sea X  N ( 5, 2 ) entonces se cumpleque:

P3  X  7   P5  2  X  5  2  0 ,6826  Aproximadamente el 68,26 % de los valores de X

están entre 3 y 7

P1  X  9   P5  2·2  X  5  2·2  0 ,9544  Aproximadamente el 95,44 % de los valores de
X están entre 1 y 9

P 1  X  11  P5  3·2  X  5  3·2  0 ,9974  Aproximadamente el 99,74 % de los valores
de X están entre –1 y 11.
3.4 DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR OTIPIFICADA.
Existen infinitas distribuciones normales, X  N ( , ) , en función de los valores de  y  , pero todas
ellas tienen en común la forma de campana y el hecho de encerrar un área igual a la unidad.

NOTA: Observar la variación de la
media,  , y de la desviación típica,  .

3

El cálculo de probabilidades, utilizando la función de densidad, obliga a determinar el área encerrada por...