unidad7 1

115510_SOL_U07

15/7/08

10:21

Página 138

7 PROBLEMAS MÉTRICOS

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

7.1 La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 2 centímetros, respectivamente.
Halla las medidas de sus ángulos.
2
p
C ϭ arcsen ᎏᎏ ϭ 30Њ
4

B
4 cm

2 cm

p
B ϭ 90Њ Ϫ 30Њ ϭ 60Њ
C
b

7.2 En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 centímetros. Calcula lamedida de la altura sobre la
hipotenusa y la distancia desde su pie hasta los extremos.
c2 ϭ 82 ϩ 62 ⇒ c ϭ 10 cm
8 cm

h

6 cm

8и6
10 h
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ h ϭ 4,8 cm
2
2

82 ϭ m и 10 ⇒ m ϭ 6,4 cm
62 ϭ n и 10 ⇒ n ϭ 3,6 cm

m

n
c

7.3 Ana y Blanca se encuentran a ambos lados de la orilla de un río en los puntos A y B.

¿Qué anchura tiene el río?
p
B ϭ 180Њ Ϫ 100Њ Ϫ 30Њ ϭ 50Њ

100
d
100 и sen 30Њ
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ dϭ ᎏᎏ ϭ 65,27 m
sen 50Њ
sen 30Њ
sen 50Њ

7.4 Resuelve estos triángulos.
p ‫ ؍‬90؇
a) a ‫ ؍‬25 m, b ‫ ؍‬20 m, A
p
p
b) a ‫ ؍‬6 cm, B ‫ ؍‬45؇, C ‫ ؍‬105؇
p ‫ ؍‬30؇
c) a ‫ ؍‬10 mm, c ‫ ؍‬7 mm, B
a) Triángulo rectángulo; c2 ϭ 252 Ϫ 202 ϭ 225 ⇒ c ϭ 15 m
20
p
B ϭ arcsen ᎏᎏ ϭ 53Њ 7Ј 48Љ
25
p
C ϭ 36Њ 52Ј 12Љ
A ϭ 180Њ Ϫ 45Њ Ϫ 105Њ ϭ 30Њ
b) p
6
b
c
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
sen 30Њ
sen 45Њ
sen 105Њ
6 sen 45Њ
6 sen 105Њb ϭ ᎏᎏ ϭ 8,49 cm c ϭ ᎏᎏ ϭ 11,59 cm
sen 30
sen 30Њ
2
2
2
c) b ϭ 10 ϩ 7 Ϫ 2 и 10 и 7 и cos 30Њ ⇒ b2 ϭ 27,76 ⇒ b ϭ 5,27 mm
A ⇒ cos p
A ϭ Ϫ0,315 ⇒ p
A = 108,35Њ
102 ϭ 72 ϩ 5,272 Ϫ 2 и 7 и 5,27 и cos p
p
C ϭ 180Њ Ϫ 30Њ Ϫ 108,35Њ ϭ 41,65Њ
138

115510_SOL_U07

15/7/08

10:21

Página 139

7.5 Los brazos de un compás miden 12 centímetros. ¿Qué ángulo forman cuando se traza un arco de 7 centímetros deradio?
72 ϭ 122 ϩ 122 Ϫ 2 и 12 и 12 и cos ␣ ⇒ cos ␣ ϭ 0,83 ⇒ ␣ ϭ 33,92Њ

7.6 Los lados de un paralelogramo forman un ángulo de 70؇. Sus medidas son 7 y 8 centímetros.
a) Calcula la longitud de la diagonal menor.
b) Halla el área del paralelogramo.
a) d 2 ϭ 72 ϩ 82 Ϫ 2 и 7 и 8 cos 70Њ ϭ 74,694 ⇒ d ϭ 8,643 cm
h
b) sen 70Њ ϭ ᎏᎏ ⇒ h ϭ 6,578 cm
7

d
7 cm

h

A ϭ 8 и 6,578 ϭ 52,624 cm2
8 cm

7.7 El lado deun octógono regular mide 12 metros. Calcula la longitud de los radios de las circunferencias
inscrita y circunscrita.
El radio de la circunferencia inscrita se corresponde con la apotema: r
El radio de la circunferencia circunscrita se corresponde con el radio del octógono: R
Ángulo central ϭ 360Њ Ϻ 8 ϭ 45Њ

2␣ ϭ 180Њ Ϫ 45Њ ϭ 135Њ

12
R
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ Rϭ 15,68 m
sen 45Њ
sen 67,5Њ

␣ ϭ 67,5Њ

r 2 ϭ15,682 Ϫ 62 ϭ 209,86

r ϭ 14,49 m

7.8 Halla el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 10 centímetros de radio.
Ángulo central ϭ 360Њ Ϻ 5 ϭ 72Њ

2␣ ϭ 180Њ Ϫ 72Њ ϭ 108Њ

10
x
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ x ϭ 11,76 cm
sen 54Њ
sen 72Њ

␣ ϭ 54Њ

a2 ϭ 102 Ϫ 5,882 ϭ 65,43 ⇒ a ϭ 8,09 cm

11,76 и 5 и 8,09
A ϭ ᎏᎏ ϭ 237,85 cm2
2

7.9 Calcula el área lateral y el área total de estos cuerpos.
a)

b)

c)

d)8 cm

3 cm

8 dm

2m

70°
4m

4m
6 dm

3 и 6 и 2,6
a) a2 ϭ 32 Ϫ 1,52 ϭ 6,75 ⇒ a ϭ 2,6 cm ⇒ Abase ϭ ᎏᎏ ϭ 23,4 cm2; Alateral ϭ 3 и 6 и 8 ϭ 144 cm2
2
2
Atotal ϭ 23,4 и 2 ϩ 144 ϭ 190,8 cm
2 и 1,73
b) h2 ϭ 22 Ϫ 12 ϭ 3 ⇒ h ϭ 1,73 m ⇒ Atriángulo ϭ ᎏᎏ ϭ 1,73 m2 ⇒ Atetraedro ϭ 4 и 1,73 ϭ 6,92 m2
2
4
h
4 sen 70Њ
c) Ap ϭ 90Њ Ϫ 70Њ ϭ 20Њ ⇒ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ h ϭ ᎏᎏ ϭ 10,99 m ⇒
sen 20Њ
sen 70Њ
sen 20Њ
⇒ Alateral ϭ 4 и4 и 10,99 ϭ 175,84 m2 ⇒ Atotal ϭ 2 и 4 и 4 ϩ 175,84 ϭ 207,84 m2
d) Alateral ϭ 2 и 3 и ␲ и 8 ϭ 48␲ dm2; A2semiesferas ϭ 4 и ␲ и 32 ϭ 36␲ dm2 ⇒ Atotal ϭ 48␲ ϩ 36␲ ⇒ Atotal ϭ 84␲ dm2
139

115510_SOL_U07

15/7/08

10:21

Página 140

7.10 Halla el volumen de estos cuerpos.
a)

b)

c)

d)
5m
10 cm

60°

16 cm

14 m

5 cm
6 cm

7 cm

50°
3m

R
7
a) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ R ϭ 5,95 cm ⇒ a2 ϭ 5,952 Ϫ 3,52 ϭ 23,15 ⇒ aϭ 4,81 cm ⇒
sen 72Њ
sen 54Њ
7 и 5 и 4,81
⇒ Abase ϭ ᎏᎏ ϭ 84,18 cm2
2
5
b) tg 60Њ ϭ ᎏᎏ ⇒ r ϭ 2,89 cm
r

84,18 и 16
V ϭ ᎏᎏ ϭ 448,96 cm3
3
␲r2h
4 ␲r3
␲2,8925
4␲2,893
V ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ 94,24 cm3
3
3 2
3
2

b
c) tg 50Њ ϭ ᎏᎏ ⇒ b ϭ 7,15 cm
6

6 и 7,15
Abase ϭ ᎏᎏ ϭ 21,45 cm2 ⇒ V ϭ 21,45 и 10 ϭ 214,5 cm3
2

d) R ϭ 14 Ϻ 2 ϭ 7 m

r ϭ (14 Ϫ 5 и 2) Ϻ 2 ϭ 2 m
V ϭ ␲R2h Ϫ ␲r2h ϭ ␲723 Ϫ ␲223 ϭ 135␲ m3 ϭ...