universitario

Tema 5

OSCILACIONES ARMÓNICAS
5.1. Introducción.
5.2. Movimiento armónico simple (MAS).
5.3. Cinemática y dinámica del MAS.
5.4. Fuerza y energía en el MAS.
5.5. Péndulo simple. MAS y movimiento circular uniforme.
5.6. Superposición de dos MAS. Casos de igual dirección. Casos de
direcciones perpendiculares. Figuras de Lissajous.
5.7. Oscilaciones amortiguadas.
5.8 .Oscilacionesforzadas y resonancia.
Nota: El contenido de estos apuntes pretende ser un resumen de la materia
desarrollada en el curso. Por ello, el alumno debe de completarlo con las
explicaciones y discusiones llevadas a cabo en clase y con la bibliografía
recomendada.

5.1. Introducción.
Cuando la fuerza que actúa en una partícula o sistema es proporcional al desplazamiento
r
r
respecto a un punto de“equilibrio”, siguiendo la ley de Hooke, ( F = − k x ) el móvil se
dice que describe un movimiento armónico simple.

Una partícula oscila cuando se mueve periódicamente respecto de su posición de
equilibrio. Periódico: es todo movimiento que se repite cadenciosamente cada mismo
intervalo de tiempo. Se puede demostrar que la gran mayoría de los sistemas que tiene
un punto de equilibrio estableadmiten un tratamiento armónico para pequeñas
oscilaciones en torno a dicho punto.

1

5.2 Movimiento armónico simple (M.A.S.).
Para que un móvil de masa m describa un M.A.S, la fue rza ha de ser proporcional al
r
r
desplazamiento x y de sentido contrario a éste ( F = − k x ). Si aplicamos la segunda ley
r
r
r
r
de Newton, ( F = m a ), junto con la ley de Hooke ( F = − k x ),obtenemos que:
r
r
r
d2x
F = m a = −k x = m 2 = − m ω 2 x
dt

En esta sencilla ecuación la aceleración es proporcional al desplazamiento x :
k
d2x
a = − x = 2 = −ω2 x
m
dt

que da:

d 2x
+ω2 x =0
2
dt

Esta última ecuación diferencial constituye la ecuación de movimiento de un sistema
que cumpla la ley de Hooke y con ella se obtiene la solución general a un movimiento
armónicosimple:
x = A sen (ω t + ϕ )
donde A es la amplitud máxima que puede recorrer el móvil; ω la frecuencia angular
(el número de “radianes”' que recorre en un segundo); ω t+ϕ la fase y ϕ la fase inicial.
Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando su posición x
viene dada en función del tiempo t por dicha expresión.
Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1y -1, el movimiento se
realiza en una región del eje X comprendida entre +A y -A.

Como la función seno para describir este movimiento es periódica y se repite cada 2π ,
por tanto, el movimiento es periódico y se repite cuando el argumento de la función
seno se incrementa en 2π , es decir, cuando transcurre un período de tiempo T tal que
2π 1
ω (t+T) + ϕ =ω t+ϕ + 2π .
T=
=
ω
f
Período(T): Tiempo en el que se realiza una oscilación completa.
Frecuencia (f): Número de oscilaciones por unidad de tiempo.

2

5.3. Cinemática y dinámica en un MAS.
Dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y
luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo x = A sen (ω t+ ϕ )

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad de un móvil sometido a una
fuerza armónica
Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

3

Que si se expresa en forma de ecuación diferencial
diferencial de un MAS.

, que es la ecuación

Es también común relacionar la velocidad v y la aceleración a con la posición x ,
a=−

v = ω A2 − x2

k
x
m

5.4. Fuerza y energía en el MAS.
La fuerza que ha de actuar sobre una partícula de masa m para que oscile con un
M.A.S, ha de ser proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste
r
r
( F = − k x ).

4

r
r
r
d2x
F = m a = −k x = m 2 = − m ω 2 x
dt

T = 2π

m
k

ω=

f=

1
2π

k 2π
=
= 2πf
m
T

k
m

Esto indica que si k es...