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1. Un granjero dispone de 100 metros de alambre para construir un corral rectangular ¿Cuál será la máxima superficie posible que podrá abarcar?
A = x * y
2x + 2y = 100
Y = 50-x
F(x) = x (50-x)
F(x) = -x2 + 50x
F’(x) = -2x+50
X = 25
F’’(x)= -2 < 0 = MÁXIMO
Entonces:
2(25) + 2y = 100
Y = 50/2 = 25
R = Al tener los valores de x, y solo resta despejar la fórmula del área y obtener queel área máxima que se puede obtener es 625m^2.
Y
X






2. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V (t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas  y los intervalos en que esta crece y decrece. V´ (t)= 15-18t+3t2, igualando a 0, 3t2-18t+15=0
Simplificando  t2-6t+5=0, las soluciones son 5 y 1.
En el intervalo [0, 6] se tomarán valores para definir un máximo y mínimo.

V (0)=40
V (1)=1-9+15+40= 47
V (5)=125-225+75+40 =15
V (6)=216-324+90+40=22

Luego V crece desde 0 a 1  y desde 5 a 6, y decrece en el intervalo (1, 5)
 
Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemosdeducido. Habrá máxima virulencia en la primera hora y mínima en la quinta hora.
 



3. Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima? 

Se debe maximizar el área A de un rectángulo: 

Designemos con "x", "y" las longitudes de los lados del rectángulo. 
 

Como el perímetro del rectángulo es 120 m. entonces laecuación auxiliar es:  de dónde. 

Luego  

Como  y  entonces  es un valor crítico. 

Analicemos si este valor es máximo o mínimo utilizando el criterio de la segunda derivada. 

Como  y, entonces  es un valor máximo. 

Si  entonces  por lo que un cuadrado de lado 30 es el rectángulo de mayor área y perímetro 120m.


4. Determinar dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo productotenga el mayor valor posible. 
 
Se debe de maximizar el producto P de dos números positivos. 
Sean estos números: x, y 
Luego  
Como la suma de esos números es 10, entonces  es la ecuación auxiliar, de donde. 
Entonces:  
Se debe de determinar el valor de x que hace máxima la función
Derivando:  
Valores críticos:  
En  se tiene un valor crítico, y se debe estudiar si es un valor mínimo oun valor máximo. 
Como  entonces  por lo que en  se tiene un valor máximo. 

Si  entonces. Luego, los números positivos cuyo producto es máximo y cuya suma es 10 son ambos iguales a 5.







5. Con una malla de 380 metros se desea cercar un terreno rectangular, ¿Cuáles deben ser las medidas del terreno para que su área sea máxima?
Se pueden cercar infinidad de terrenos rectangularescon una malla de 380 metros, pero solo uno puede abarcar la mayor área posible que los demás.
Suponiendo A = área del terreno, b = longitud y h = anchura, podemos plantear la función.
A = b h
Siendo una función de dos variables, ponemos una en función de la otra:
Perímetro de rectángulo = 2b +2h = 380
2b = 380 - 2h
b = 190 - h
La función con una variable es: A = (190 - h) h = 190 h – h^2.Calculando el máximo de la función: A = 190 h – h^2
A’ = -2 h + 190
-2 h + 190 = 0
h = 95
A’’ = - 2
Al ser negativa la segunda derivada, hay un máximo en
h =95
b = 190 - h = 190 - 95 = 95
A = 190 h - h 2 = 190 (95) - (952) = 9025



6. A Las 3:00 PM la persona A se encuentra a 150 Km al este de la persona B. La persona A se dirige al oeste a razón de 10 Km/h y la persona B hacia el sur a20 Km/h. Si ambos mantienen sus rumbos y velocidades…
¿Cuándo estarán más próximos entre sí?
¿Cuál es la distancia mínima a la que se acercarían?
Consideremos A o y B o las posiciones de las personas a las 3:00 PM y A 1 y B1 sus posiciones X horas después.
La distancia recorrida en X horas es 10X y 20X respectivamente.
La distancia entre las dos personas (Y) se puede representar en la...