Valor Eficaz De Una Onda Senoidal Y Calculos

Valor eficaz de una onda senoidal
Hoy traigo un post teórico para demostrar algo que se explica en los ciclos formativos de electricidad y en su momento todos nos tuvimos que creer.
Antes de nada,explicar el concepto de valor eficaz de una señal. El valor eficaz de una tensión o corriente alterna (el que medimos con el polímetro en un enchufe) es el valor de una tensión o corriente continuaque causaría el mismo efecto sobre un circuito resistivo puro.
Sin embargo, el valor máximo de esa tensión o corriente (en adelante, señal) es ligeramente superior, aproximadamente 1,41 veces (raíz de2). Esto implica la siguiente igualdad, que es la que se enseña en los ciclos. Lo siguiente sólo es válido para señales senoidales puras

Antes de continuar, quiero enseñar la gráficadel seno (trazo rojo) y del coseno (trazo azul). Son iguales, pero desplazadas 90º, esto significa que la demostración es válida para ambas.

Nota: En los cálculos, los ángulos van en radianes.
Partiendo de ladefinición de valor eficaz:

Como lo de dentro del cuadrado es un producto, podemos desarrollarlo fácilmente, y como Vmax es una constante, se puede sacar de la integral.

Esa integral, así tal cual,puede ser un poco engorrosa de resolver, por lo que recurriré a una igualdad trigonométrica para simplificarla. La resuelvo aparte.

Es decir, tras tanta apariencia que teína, la integral, al finalda como resultado el número Pi. Para acabar, sustituyo el resultado de la integral en la ecuación del valor eficaz:

Como quería demostrar. Bueno, espero que nadie se haya quedado dormido con estademostración, y que tampoco me comparen con cierto profesor de ingeniería eléctrica, que mis compañeros bien conocen y sabrán a quien me refiero.
Para acabar, una lista de páginas usadas en estepost, y para referencia para aquellos que no lleven muy bien las matemáticas:
Compilador de LaTeX Online
Graficador de funciones
Página de mis profesoras de Matemáticas – Muy recomendable como...