Variables_Aleatorias

Tema 4

Variables aleatorias
En este tema se introduce el concepto de variable aleatoria y se estudian los distintos
tipos de variables aleatorias a un nivel muy general, lo que nos permitir´
a manejar los modelos estad´ısticos para describir los posibles resultados de un experimento aleatorio y asignar
probabilidades a los diferentes sucesos que nos interesen.

Contenido

4.1.

4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.2. Variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.3. Variables discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.4. Variables continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.5. Independencia de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

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4.6. Caracter´ısticas de una v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.7. Desigualdad de Chebichev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introducci´
on

Tanto en la vida cotidiana como en el campo cient´ıfico estamos habituados a observar
fen´
omenos aleatorios cuyosresultados se expresan mediante n´
umeros; por ejemplo el voltaje
de salida en una fuente de alimentaci´
on, el n´
umero de personas en la cola del cine, la velocidad
de conexi´
on a la red, etc. Incluso en problemas de naturaleza puramente cualitativa es muy
frecuente recurrir a la codificaci´
on num´erica; en situaciones tales como: el diagn´
ostico de un
paciente “sano” o “enfermo”, preguntas deltipo ¿estudias o trabajas?, etc., las respuestas
son usualmente codificadas con 0 y 1, aunque en realidad podr´ıa emplearse cualquier pareja
de s´ımbolos con igual precisi´
on.

4.2.

Variable aleatoria

Este proceso de cuantificaci´
on nos lleva de manera natural a considerar la siguiente
definici´
on:
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TEMA 4. VARIABLES ALEATORIAS

Curso 2007 - 08

Definici´
on 4.1 (Variable aleatoria). Dado unespacio de probabilidad (Ω, A, Pr), una variable aleatoria es cualquier funci´
on, X,
X : Ω −→
R
ω −→ X(ω)
que asocia a cada suceso elemental un n´
umero real, verificando que
PrX (B) = Pr[X ∈ B] = Pr{ω ∈ Ω | X(ω) ∈ B}

∀B ⊂ R.

En general emplearemos las siglas v.a. para referirnos a una variable aleatoria.
Para caracterizar la distribuci´on de probabilidad inducida por una v.a. X definiremos
unanueva funci´
on m´
as sencilla de manejar:
Definici´
on 4.2 (Funci´
on de distribuci´
on). Dada la v.a. X se denomina funci´
on de distribuci´
on asociada a X, a la funci´
on F : R −→ R definida por:
F (t) = Pr[X ≤ t] = Pr(X ∈ (−∞, t])

∀ t ∈ R.

Las propiedades m´
as importantes de las funciones de distribuci´
on son:
1. F (−∞) = l´ım Pr[X ≤ t] = 0.
t→−∞

2. F (∞) = l´ım Pr[X ≤ t] = 1.
t→∞

3.La funci´
on es continua por la derecha, es decir, l´ım F (t + h) = F (t).
h→0+

4. F es no decreciente, es decir, si t1 < t2 entonces F (t1 ) ≤ F (t2 ).
Teorema 4.1. Una funci´
on F : R −→ R se dice que es de distribuci´
on si y s´
olo si verifica
las cuatro propiedades anteriores.

4.3.

Variables discretas

Definici´
on 4.3 (Variable discreta). Una variable aleatoria discreta es aquella que s´olo
puede tomar valores dentro de un conjunto finito o infinito numerable.
Definici´
on 4.4 (Funci´
on de probabilidad). Sea X una v.a. discreta que toma los valores xi
con probabilidades pi = Pr(X = xi ), con i pi = 1. Se denomina funci´
on de probabilidad
de la variable X a la funci´
on que asigna a cada xi su probabilidad pi .
En las variables aleatorias discretas la funci´
on de distribuci´
onviene dada por la siguiente
expresi´
on:
F (t) = Pr[X ≤ t] =
Pr(xi ).
xi ≤t

Esta funci´
on es escalonada, no decreciente, con saltos de discontinuidad en los puntos xi . El
valor del salto en xi coincide con la probabilidad, pi , de dicho valor.
Dpto. Estad´ıstica e I.O. y D.M.

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TEMA 4. VARIABLES ALEATORIAS

4.4.

Curso 2007 - 08

Variables continuas

Definici´
on 4.5 (Variable continua)....