Varios

División de polinomios
La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:

|[pic] | |[pic] |
|[pic] ||[pic] |


tal que:

[pic]
dividendo = divisor × cociente + resto
El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).

▪ ejemplo:
veamos un ejemplo para:

[pic]
[pic]
que para la realización de ladivisión representamos:

[pic]

como resultado de la división finalizada:

[pic]
Teorema Del Resto: El resto R de la división de un polinomio P(x) por un binomio de forma (x + a) es el valor numérico del polinomio dividendo, sustituyendo "x" por el opuesto de "a" (es decir, por − a). Formalmente puede expresarse como:

[pic]Por ejemplo, si

[pic]
y el binomio divisor es

[pic]
entonces el resto será[pic], y se obtiene el resto:

[pic]
Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.


[editar]DivisionesSintéticas

Para obtener el cociente y residuo de una división de un polinomio entero en x entre un binomio de la forma x+a, sin efectuar la operación, es empleado el método de Divisiones sintéticas, también conocido como Regla de Ruffini.


[editar]Factorización de un polinomio

Una factorización de un polinomio de grado n es un producto de como mucho [pic] factores o polinomios degrado [pic] con [pic]. Así por ejemplo el polinomio P(x) de grado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:

[pic]

Cada uno de los polinomios de grado menor que intervienen en una factorización se llama factor. Una propiedad importante de la factorización es que la suma de grados de los factores es igual al grado delpolinomio original (en el caso anterior 2+3 = 5), y por tanto se tiene la siguiente relación:

[pic]

Dado un polinomio existen muchas formas de descomponerlo en factores, y normalmente se busca una factorización con factores del grado menor posible, llamados factores primos o polinomios irreducibles.


[editar]Monomios y polinomios irreducibles

Unpolinomio se llama [completamente] descomponible si puede ser expresado como un producto de factores de grado 1 o monomios. Un polinomio será descomponible si tiene el suficientemente número de raíces. Recuérdese que un número a es raíz de un polinomio [pic] si [pic], es decir, si el valor numérico del polinomio para [pic] es cero. Se suele decir, también, que el polinomio [pic] se anula para x = a.Por el teorema del resto, si [pic] es una raíz del polinomio [pic], entonces [pic] es divisible por [pic], pues el resto de dividir [pic] entre [pic] es cero. A cada uno de esos valores se los suele designar [pic], etc:

[pic]
[pic]
La factorización sobre de un polinomio de grado n cuyos coeficientes están definidos sobre un cuerpo es trivial, si el polinomio admite [pic] raíces(contando multiplicidad), entonces se puede escribir exactamente como el producto de n factores, si el número de raíces en el cuerpo es [pic], entonces el número de factores será k+1, por ejemplo el polinomio de coeficientes racionales:

[pic]

Cuyas dos únicas raíces racionales son [pic] y [pic]. En cambio el mismo polinomio anterior pero considerado sobre los números reales descompone...