Varios

RECTAS Y PLANOS


ALGEBRA LINEAL


INTRODUCCION

Para determinar un plano se necesitan un punto Po(xo ,yo ,zo) y un vector normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada por la relación:
A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0 ⇒ A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)
Donde D = -A.xo - B.yo - C.zo
Conocidos los cosenos directores de un vector perpendicular al plano y siendo d ladistancia del plano al origen de coordenadas, la ecuación del plano toma la forma: 

 
Ecuación general de la recta.- Conociendo un punto de una recta y su vector director, la ecuación que la determina toma la forma: 

Si consideramos la recta en el espacio, la ecuación que la determina es: 

 

Cuando se conocen dos puntos de la recta, la ecuación viene dada en la forma: 

 

OBJETIVOS1. Dar a conocer los conceptos generales de rectas y planos
2. Aplicar las formulas en diferentes ejercicios para afianzar el tema

MARCO TEORICO

VECTORES
A partir de la representación de R, como una recta numérica, los elementos (a, b) 2 R2 se asocian con puntos de
Un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangularesDonde la intersección representa a (0,0) y cada (a, b) se asocia con un punto de coordenada a en la recta
Horizontal (eje X) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y).

(a, b)
b

a

Notación. Los vectores se denotarán con letras minúsculas con una flecha arriba tales como

v, y, z.
Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A, B, C. Enel contexto de los vectores, los números reales
Serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como a, b, k.

RECTAS

Recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x

 
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: 

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1)
La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. 
Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y
Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b

Trácese por elorigen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al  llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas 

La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.
Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida
Recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) ycuya pendiente m también es conocida
..
Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por:
                y = mx + b             (1)
Como P1(x1, y1) , entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:
                 y1 = mx1 + b          (2)
Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:
y– y1 = m(x – x1) (3)
La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.
Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma: 
y = mx + (y1 – mx1).
Lo que indica que él intercepto b con el eje y viene dado por:
b = y1 – mx1
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
.. Sea l la recta que pasa por los puntosP1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente

Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que 
                           y – y1 = m1 (x – x1)    (1)
representa la ecuación de dicha recta.
Ahora, como el punto P2(x2, y2) , entonces satisface su ecuación

La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.
Ecuación...