Varios

Concepto de mediana

En el ámbito de la estadística, la mediana, representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide conel percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil. Su cálculo no se ve afectado por valores extremos.

Cálculo
Es el valor medio en un conjunto de valores ordenados. Corresponde al percentil 50 o segundo cuartil (P50 o Q2). Los pasos son:
1. Ordena los valores en orden del menor al mayor
2. Cuenta de derecha a izquierda, o al revés, hasta encontrar el valor o valores medios.Ejemplo: tenemos el siguiente conjunto de números 8,3,7,4,11,2,9,4,10,11,4 ordenamos: 2,3,4,4,4,7,8,9,10,11,11 En esta secuencia la mediana es 7, que es el número central. Y si tuviésemos: 8,3,7,4,11,9,4,10,11,4, entonces ordenamos: 3,4,4,4,7,8,9,10,11,11 y la mediana (Md) está en: los números centrales son 7 y 8, lo que haces es sumar 7 + 8 y divides entre 2 y Md= 7.5.
Existen dos métodos parael cálculo de la mediana:
1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.
A continuación veamos cada una de ellas.

Datos sin agrupar

Sean [pic]los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como [pic], distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupala posición [pic]una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: [pic].
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: [pic], [pic], [pic], [pic], [pic]=> El valor central es el tercero: [pic]. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo ([pic], [pic]) y otros dos por encima de él([pic], [pic]).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando [pic]es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones [pic]y [pic]. Es decir: [pic].
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic]=> Hay dos valores que están por debajo del [pic]y otros dos que quedan por encima delsiguiente dato [pic]. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: [pic].







Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si [pic]coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulosen el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:
[pic]
Donde [pic]y [pic]son las frecuencias absolutas acumuladas tales que [pic], [pic]y [pic]son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y [pic]es la abscisa a calcular, la moda. Se observa que [pic]es la amplitud de los intervalos seleccionados para eldiagrama.

Ejemplos para datos sin agrupar


Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos

|xi |fi|Ni |
|1 |2 |2 |
|2 |2 |4 |
|3 |4 |8 |
|4 |5 |13 |
|5 |8 |21 > 19.5 |
|6 |9 |30 |
|7 |3 |33 |
|8 |4 |37 |
|9 |2 |39 |


Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por lasiguiente tabla:
|Cal|1 |2 |
|ifi| | |
|cac| | |
|ion| | |
|es | | |
|1 |2 |2 |
|2 |2 |4 |
|3 |4 |8 |
|4 |5 |13 |
|5 |6 |19 = 19 |
|6 |9 |28 |
|7 |4 |32 |
|8 |4 |36 |
|9 |2 |38 |


Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas [pic]. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para...