Vectores en el espacio Ejercicios resueltos

Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato

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VECTORES EN EL ESPACIO
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL, COMBINACIÓN LINEAL, BASE
EJERCICIO 1 :

r
r
r
r
Dados los vectores a (1, 2, 3 ), b (1, 1, 1), c (1, 0, 5 ) y d (− 1, 1, 3 ):

a) ¿Forman una base de R3?

r
r r
r
b) Expresa, si es posible, el vector d como combinación lineal de a, b y c.

Solución:
a) Noforman una base, pues cuatro vectores en R3 siempre son linealmente dependientes.
r
r
r
r
b) Debemos encontrar tres números, x, y, z, tales que: d = x a + y b + z c
(-1, 1, 3) = x(1, 2, 3) + y(1, 1, 1) + z(1, 0, 5)
(-1, 1, 3) = (x + y + z, 2x + y, 3x + y + 5z)
x + y + z = −1
r
r
r
r

2x + y
= 1  Resolvemos el sistema por Gauss y obtenemos : x = 2, y = - 3, z = 0 ⇒ d = 2a − 3b + 0c
3 x + y + 5z= 3 
EJERCICIO 2 :
r r
r
r
a) Se sabe que u, v y w son linealment e dependientes. ¿Podemos asegurar que u es
r
r
combinación lineal de v y w? Justifica tu respuesta.
r
b) Halla las coordenadas del vector a (4, 3, 7 ) respecto de la base B = {(2, 1, 0), (1,0,-2),(0, 0, 3)}.
Solución:
r
r
r
a) No. Por ejemplo, si tomamos u (1, 0, 0 ), v (0, 1, 0 ), y w (0, 2, 0 ):
r
r
− Son linealment edependient es, pues w = 2v.
r
r
r
− Sin embargo, u no es combinació n lineal de v y w.
r
r
r
b) Llamamos b (2, 1, 0), c (1, 0, − 2), d (0, 0, 3) a los vectores de la base B. Tenemos que encontrar tres
r
r
r
r
números, x, y, z, tales que: a = x b + y c + z d
(4, 3, 7) = x(2, 1, 0) + y(1, 0, -2) + z(0, 0, 3)
(4, 3, 7) = (2x + y, x, -2y + 3z)
2x + y = 4 
x=3

x=3
y = 4 − 2 x = −2

− 2y + 3 z = 7 3z =7 + 2y → z = 7 + 2y = 1
3
r r r
r
r
Las coordenadas de a respecto de la base B son (3, − 2, 1), es decir: a = 3b − 2c + d
EJERCICIO 3 :

r
r
Dados los vectores u (2, − 1, 0) y v (3, 2, − 1):

a) ¿Son linealmente independientes?
r
r
r 1r
c) Halla un vector, w , tal que 2u + 3 w = v.
2

b) ¿Forman una base de R3?

Solución:
a) Sí son linealmente independientes, puesto que si escribimos:
x(2,-1, 0)+ y(3, 2, -1) = (0, 0, 0), es decir:
2x + 3 y = 0

− x + 2y = 0 Este sistema solo tiene la solución trivial: x = y = 0
− y = 0
b) No forman una base de R3, pues para obtener una base de R3 necesitamos tres vectores (linealmente
independientes).
r
r 1r
r 1r
r
r 1r 2r
c) 2u + 3w = v → 3 w = v − 2u → w = v − u
r 1
2
−1
 −5
2
2
6
3 ⇒ w
= (3, 2, − 1) − (2, − 1, 0) = 
, 1,

6
3
6 
 6

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EJERCICIO 4 :
→

→

→

→

a) Halla los valores de x, y, z tales que x u + y v + z w = 0, siendo

→

→

u (2,0,-3), v (1,-2,0) y w (3,2,-6)

b) ¿Son linealmente independientes los tres vectores anteriores? ¿Forman una base de R3?
Solución:
a) x(2, 0, -3) + y(1, -2, 0) + z(3, 2, -6) = (0, 0, 0) ⇒ (2x + y + 3z, -2y + 2z, -3x -6z) = (0, 0, 0)
2x + y + 3z = 0

− 2y + 2z = 0 Resolviendo el sistema por Gauss ⇒ Solucione s : x = −2λ, y = λ, z = λ
− 3x
− 6z = 0
b) Según los resultados obtenidos en el apartado a), deducimos que los vectores son linealmente
dependientes. Por tanto, no son base.
EJERCICIO 5 : Consideram os la base de R 3 formada por los vectores :

→

→

→

a (2,-1,3), b (0,2,-1), c (3,0,1)
r
a) Halla lascoordenadas de u (4, − 7, 14) respecto de la base anterior.

r
r r
r
b) Expresa, si es posible, el vector c como combinación lineal de a, b y u.
Solución:

r
r
r
r
a) Tenemos que encontrar tres números x, y, z, tales que: u = x a + y b + z c , es decir :
(4, -7, 14) = x(2, -1, 3) + y(0, 2,-1) + z(3, 0, 1) ⇒ (4, -7, 14) = (2x + 3z, -x + 2y, 3x - y + z)
2x
+ 3z = 4 

− x + 2y
= −7 Resolviendoel sistema por Gauss ⇒ Solución : x = 5, y = −1, z = −2
3 x − y + z = 14 
r r
r
r
r
Por tanto, las coordenada s de u respecto de la base dada son (5, − 1, − 2), es decir : u = 5a − b − 2c
b) De la igualdad obtenida en a), tenemos

r

que: u

r r r
= 5a − b − 2c

→

r
r r r
2c = 5a − b − u

→

r 5r 1r 1r
c = a− b− u
2
2
2

PRODUCTO ESCALAR Y APLICACIONES (Módulo de un vector, ángulo que...