1BCT Ejercicios De Vectores Resueltos

Vectores
Ejercicio nº 1.→

→

→

→

→

→

→

a) Si u y v son los siguientes vectores, dibuja 2 u − v , − u + v y − u +

1→
v.
2

→
→
 1 
b) Las coordenadas de dos vectores son a (2, − 3 ) y b  − , 2 . Obtén las coordenadas de:
 2

→
→
→
→
→
→
1
1

− 3 a + 2 b; − a + b;
 a− b 
2
3


Ejercicio nº 2.→

→

→

a) Dibuja los vectores u − v , − u +

→
→
→
→
1→
v y 2 u + 3 v , siendo u y vlos que muestra la figura:
2

→ 2
→


b) Dados los vectores a  , − 1 y b (3, − 2 ), obtén las coordenadas de:
3

→
→
→ →
→
1→
− 3 a + 2 b; 2 a − b; a − b
3

1

Ejercicio nº 3.→

→

→

→

a) Si u y v son los vectores que muestra la figura, dibuja − u + 2 v ,

2→ →
1→ →
u+ v y − u− v:
3
3

→
→
2

b) Si las coordenadas de a y b son  , − 3  y (− 1, 3 ), obtén las coordenadas de los vectores:5

→
→
→
1→
1→ →
5 a + b; − a + 2 b;
a− b
5
2

Ejercicio nº 4.→

→

a) Los vectores u y v son los que muestra la figura. A partir de ellos, dibuja
→ →
→ →
→ 2→
− u− v , − 2u+ v y u+ v :
3

→
→
1

b) Si las coordenadas de los vectores a y b son (− 2, 1) y  1, − , obtén las
4

coordenadas de:
→
→
→ →
1→ →
− 3 a + 4 b; − a + b;
a+ 2 b
2

2

Ejercicio nº 5.a) A la vista de la siguiente figura,dibuja los vectores:
→

→

− u + 2v ;

→

u+

1→
v;
2

→

→

u − 2v

→ −3
→


b) Dados los vectores a 
, 2  y b (2, − 2 ), obtén las coordenadas de:
 4

→
→
→
→
→ →
1
a − b; − 2 a + b; − 4 a + b
2

Ejercicio nº 6.→

→

→

→

→

a) Escribe los vectores x , y , z como combinación lineal de u y v :

→
→
→
1

b) Escribe el vector a (0, 17 ) com combinación lineal de b  , 3  y c (− 1, 2 ).5


Ejercicio nº 7.→

→

→

→

→

a) Expresa los vectores a , b y c como combinación lineal de los vectores u y v :

→
→
→ 1


b) Expresa el vector x (5, − 2 ) como combinación lineal de y (1, − 2 ) y z  , 2 .
2


3

Ejercicio nº 8.→

→

→

→

→

a) Escribe los vectores a , b y c como combinación lineal de x e y :

→

b) Halla las coordenadas del vector w (1, 0 ) con respecto a la baseformada por
→
→
 1 
u  − , 1 y v (− 3, 2 )
 2 
Ejercicio nº 9.-


a) Halla las coordenadas del vector u ( − 2, − 3 ) con respecto a la base formada por los vectores


1 
v  2, −  y w ( 1, − 1 )
3


 
  
b) Expresa los vectores x , y , z como combinación lineal de los vectores a y b :

Ejercicio nº 10.-



 1 
a) Expresa el vector x ( 4, 1) como combinación lineal de los vectoresy ( 2, − 3 ) y z  , 1 .
2 

4

Ejercicio nº 11.→
→

Dados x (5, − 4 ), y (3, 2 ) y z (1, k ) :
→

→

a) Halla el valor de k para que x y z formen un ángulo 90  .
→

b) Halla un vector unitario con la misma dirección y el mismo sentido que x .

Ejercicio nº 12.→

→

Si a (1, − 3 ) y b (m , 2 ) :
→

→

a) Halla el valor de m para que a y b sean perpendiculares.
→

→

→

b) Calcula el ánguloformado por a y c siendo c (4, 2 ).

Ejercicio nº 13.→

→

→

Dados los vectores u (− 1, 4 ), v (3, m ) y w (2, − 3 ):
→

→

a) Calcula m para que u y v sean perpendiculares.
→

→

b) Halla el ángulo que forman u y w .

Ejercicio nº 14.→

→

→

→

Considera los vectores x (a, 3 ) e y (− 1, b ). Halla los valores de a y b para que x e y

sean perpendiculares y que x = 5.

Ejercicio nº 15.a) Hallael ángulo que forman los vectores
→ 3 −4
→


a ,
 y b (1, 1)
5 5 
→
→ 3 −4


b) ¿Cuál sería el valor de x para que el vector u (1, x ) fuera perpendicular a a  ,
?
5 5 

5

Soluciones ejercicios de Vectores
Ejercicio nº 1.→

→

→

→

→

→

→

a) Si u y v son los siguientes vectores, dibuja 2 u − v , − u + v y − u +

1→
v.
2

→
→
 1 
b) Las coordenadas de dos vectores son a (2, − 3 )y b  − , 2 . Obtén las coordenadas de:
 2

→
→
→
→
→
→
1
1

− 3 a + 2 b; − a + b;
 a− b 
2
3


Solución:
a)

→
→
 1 
b) − 3 a + 2 b = −3(2, − 3 ) + 2 − , 2  = (− 6, 9 ) + ( − 1, 4 ) = (− 7, 13 )
 2 
→

− a+

1→
1 1 
 1  −9 
, 4
b = −(2, − 3 ) +  − , 2  = (− 2, 3 ) +  − , 1 = 
2
2 2 

 4   4

1 → → 1 
 5 −5
 1  1  5

 a − b  =  (2, − 3 ) −  −...