Vetores

Producto vectorial
Es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Sean dos vectores  y  en el espacio vectorial . Elproducto vectorial entre  y  da como resultado un nuevo vector,. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección:
* El módulo de  está dado por

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.
* La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.
El producto vectorial entre a y b se denotamediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

Donde  es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la manoderecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorchos.

Producto vectorial de dos vectores

Sean  y  dos vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.
Se define el producto , y se escribe , como el vector:

En el que
, es el determinante de orden 2.
O usando una notación más compacta, medianteel desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de  es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
La siguiente expresión, aunquecarece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:[cita requerida]

[editar]Ejemplo
El producto vectorial de los vectores  y  se calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

Puede verificarse fácilmente que  es ortogonal a los vectores  y  efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo(condición de perpendicularidad de vectores).
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Propiedades
Cualesquiera que sean los vectores ,  y :
1. , (anticonmutatividad)
2.  , cancelación por ortogonalidad.
3. Si  con  y , ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
4. .
5. , conocida como regla de laexpulsión.
6. , conocida como identidad de Jacobi.
7. , en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo  ,el ángulo menor entre los vectores  y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
8. El vector unitario  es normal al plano que contiene a los vectores  y .

Bases orto normales yproducto vectorial
Sea un sistema de referencia  en el espacio vectorial . Se dice que  es una base orto normal derecha si cumple con las siguientes condiciones:
1. ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.
2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).
3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.Vectores axiales
Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llamanpseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es...