Vibracion 1 Gdl

2.0 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD (GDL) 2.1 DEFINICIÓN. Un sistema tiene un grado de liberta cuándo se requiere una coordenada para describir su movimiento. Es decir, tendrá una frecuencia natural. 2.2 RIGIDEZ DE LOS SISTEMAS. Todos los cuerpos que posean masa y elasticidad son capaces de vibrar. Su rigidez se idealiza con un resorte, por una barra de torsión o por una viga. 2.2.1 Sistemacarga axial. Al aplicarle al resorte una fuerza F se produce un alargamiento δ. Si el material se mantiene dentro del límite elástico, la relación K es constante: K=F/δ 2.2.2 Sistema carga de torsión. Al aplicar a una barra de longitud L y momento polar de inercia I un par de torsión T, la barra girará un ángulo θ. Kt = T / θ = T G I / T L = G I / L 2.2.3 Sistema carga de flexión. Al aplicar una cargaP a una viga (sin masa) se produce una deflexión (dependiendo del tipo de apoyo) que conduce al cálculo del coeficiente de rigidez a la flexión Kf. Kf = P / δ = P 48 E I / P L3 = 48 E I / L3 F R1 R2

L/2

2.3 VIBRACIÓN LIBRE Es la que ocurre cuándo un sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al sistema mismo y las fuerzas externas son inexistentes. 2.3.1 Movimiento periódico a)Movimiento armónico El movimiento periódico más simple de la vibración es el movimiento armónico y se le denomina movimiento armónico simple. Puede repetirse a sí mismo regularmente como el caso de un balancin de reloj, o desplegar regularidad como el caso de movimientos sísmicos. La velocidad es máxima y la aceleración es cero en la posición de equilibrio. En los desplazamientos extremos, lavelocidad es cero y la aceleración es máxima. Cuándo el movimiento se repite a intervalos de tiempo T se le llama periódico. El tiempo de repetición T es el período de oscilación y su recíproco f=1/T es la frecuencia. Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento periódico debe satisfacer la relación x(t)=x( t+T ). Y A

ωt

T

Fig. 1. Registro de un movimiento armónico.

Fig. 2.Comportamiento gráfico del desplazamiento, velocidad y aceleración en un movimiento armónico. El movimiento registrado en la tira de la película puede representarse con la ecuación:
X = A Sen 2π t /T = A Sen ( ωt ) X= Desplazamiento T= Período = 2π / ωn = 1/f A= Amplitud de la oscilación ω= Velocidad en radianes por segundo t = Instante de tiempo (frecuencia circular natural) f = Frecuencia de oscilación=2πf = 1/T Herz (1)

La velocidad y aceleración del movimiento armónico se determina por la derivada:

X´= ω A Sen (ωt + π/2) = ω A Cos ( ωt ) X“ = ω2 A Cos ( ωt + π ) = - ω2 A Sen ( ωt )

(2) (3)

La velocidad y aceleración son también armónicas pero aventajan al desplazamiento en π/2 y π radianes respectivamente. b) Movimiento no armónico. Es frecuente encontrar vibraciones dediferentes frecuencias simultaneamente. Tales vibraciones se manifiestan en una forma de onda compleja que se repite periódicamente, como se muestra en la figura 4.

Fig. 4. Movimiento periódico no armónico. Fourier mostró que cualquier movimiento periódico puede representarse por medio de una serie de senos y cosenos relacionados armónicamente. Si x(t) es una función periódica de período ζ, se lerepresenta por medio de una serie de fourier:

c) Frecuencia natural fn. Todo sistema que posea masa y elasticidad es capaz de vibrar libremente. Es de suma importancia en tales sistemas su frecuencia natural de vibración. La frecuencia natural es la frecuencia a la que un sistema mecánico seguirá vibrando, después que se quita la señal de excitación.

K

W

La fuerza recuperadora que ejerce elresorte esta siempre dirigida hacia la posición de equilibrio, mientras que la aceleración tiene su sentido positivo coincidente con el desplazamiento Aplicando la segunda ley de Newton y despreciando la masa del resorte, la configuración quedará determinada por el desplazamiento del peso W. Partiendo de la ecuación diferencial del movimiento, puede llegarse a una expresión analítica de las...