Vibraciones
Páginas: 13 (3087 palabras)
Publicado: 20 de noviembre de 2012
VIBRACIONES FORZADAS
Un sistema elástico sometido a fuerzas externamente aplicadas, se denomina forzado, y el movimiento de oscilación que resulta en el mismo debido a las fuerzas externamente aplicadas, se llama vibración forzada. Si existe disipación de energía o amortiguación, el movimiento es una vibración forzada amortiguada. Cuando parte del movimiento desaparece después de un periodo detiempo, se conoce a esta parte como transitoria. La parte que permanece después que ha desaparecido la parte transitoria, se llama la vibración en estado estable.
VIBRACIÓN ARMONICA FORZADA NO AMORTIGUADA
Consideremos el movimiento, con un grado de libertad, de un sistema de resorte y masa sometido a una fuerza armónicamente variable, F(t) = F1 sin ( t). F1 es el valor máximo de la fuerzaimpuesta y es el valor de la frecuencia con la cual varía, en radianes / segundo, la fuerza F(t). Haciendo referencia a la figura, por la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento:
Se torna:
Redisponiendo términos y usando la función armónica:
La solución de esta ecuación diferencial E.D. consta de dos partes: la solución de la ecuación homogénea xh y la solución de la ecuaciónparticular xp, de tal forma que la respuesta dinámica del sistema es: x = xh + xp.
Para determinar la solución particular utilizamos la solución probable: x = X sin ( t)
La cual derivamos dos veces y reemplazamos en la E.D. para determinar el valor de X
Cancelando la función armónica y reordenando obtenemos:
La solución total será por lo tanto:
Los dos primeros términos se llamantransitorios, aun cuando no exista amortiguación en nuestro caso. Estos dependen de las condiciones iniciales y después de un periodo de tiempo, con cualquier grado de amortiguación, la influencia de estos términos es pequeña, excepto cuando estamos cerca de la resonancia.
En el estado estable solo necesitamos dirigir nuestra atención al último termino, que se denomina el termino de estadoestable.
Entonces el desplazamiento máximo es:
Es interesante analizar esta expresión para determinar la influencia de la frecuencia en la amplitud del movimiento, para lo cual graficamos la relación de amplitudes X / F1/k, como una función de la relación de frecuencias adimensional / n.
ANALISIS
A frecuencias bajas cercanas a cero, la amplitud del movimiento esaproximadamente igual a F1 / k que es la deformación que el sistema elástico tendría si F1 fuera una fuerza estática, esta amplitud se denomina también st.
Incrementando la llegamos a un punto en que la frecuencia forzante y la frecuencia natural son casi iguales y se obtienen amplitudes de vibración muy grandes y destructivas, a partir de fuerzas que pueden ser pequeñas. La condición = n en la que larelación de amplitudes es infinita se conoce como resonancia.
A altas frecuencias cuando n las amplitudes se reducen cada vez más y terminan tendiendo a 0.
Ejercicio de Aplicación:
Un automóvil de 1570 Kg, se soporta sobre cuatro resortes helicoidales cada uno con modulo de resorte de 25 N/ mm. Al viajar sobre un viaducto elevado, se excita un movimiento resonante vertical. Cada claro delviaducto tiene 25 m de longitud y una flecha de 25 mm a la mitad del claro. Determine la carrera máxima vertical del automóvil, cuando viaja por el viaducto a 100 Km / h. Se desprecia la amortiguación.
Datos:
El periodo o el tiempo que transcurre en excitarse la masa es:
De aquí obtenemos la frecuencia forzante:
La ecuación diferencial de este sistema es:
y la solución es:Reemplazando obtenemos:
VIBRACIÓN CAUSADA POR FUERZAS EN ROTACIÓN NO EQUILIBRADAS
Una fuente obvia de vibración forzada, la constituye el desequilibrio de partes en rotación, por ejemplo turbinas, ventiladores, etc. Si el centro de gravedad de una masa mo no equilibrada tiene una excentricidad radial, a partir del eje geométrico de rotación, e, la fuerza externa es una fuerza centrífuga F(t) = mo...
Un sistema elástico sometido a fuerzas externamente aplicadas, se denomina forzado, y el movimiento de oscilación que resulta en el mismo debido a las fuerzas externamente aplicadas, se llama vibración forzada. Si existe disipación de energía o amortiguación, el movimiento es una vibración forzada amortiguada. Cuando parte del movimiento desaparece después de un periodo detiempo, se conoce a esta parte como transitoria. La parte que permanece después que ha desaparecido la parte transitoria, se llama la vibración en estado estable.
VIBRACIÓN ARMONICA FORZADA NO AMORTIGUADA
Consideremos el movimiento, con un grado de libertad, de un sistema de resorte y masa sometido a una fuerza armónicamente variable, F(t) = F1 sin ( t). F1 es el valor máximo de la fuerzaimpuesta y es el valor de la frecuencia con la cual varía, en radianes / segundo, la fuerza F(t). Haciendo referencia a la figura, por la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento:
Se torna:
Redisponiendo términos y usando la función armónica:
La solución de esta ecuación diferencial E.D. consta de dos partes: la solución de la ecuación homogénea xh y la solución de la ecuaciónparticular xp, de tal forma que la respuesta dinámica del sistema es: x = xh + xp.
Para determinar la solución particular utilizamos la solución probable: x = X sin ( t)
La cual derivamos dos veces y reemplazamos en la E.D. para determinar el valor de X
Cancelando la función armónica y reordenando obtenemos:
La solución total será por lo tanto:
Los dos primeros términos se llamantransitorios, aun cuando no exista amortiguación en nuestro caso. Estos dependen de las condiciones iniciales y después de un periodo de tiempo, con cualquier grado de amortiguación, la influencia de estos términos es pequeña, excepto cuando estamos cerca de la resonancia.
En el estado estable solo necesitamos dirigir nuestra atención al último termino, que se denomina el termino de estadoestable.
Entonces el desplazamiento máximo es:
Es interesante analizar esta expresión para determinar la influencia de la frecuencia en la amplitud del movimiento, para lo cual graficamos la relación de amplitudes X / F1/k, como una función de la relación de frecuencias adimensional / n.
ANALISIS
A frecuencias bajas cercanas a cero, la amplitud del movimiento esaproximadamente igual a F1 / k que es la deformación que el sistema elástico tendría si F1 fuera una fuerza estática, esta amplitud se denomina también st.
Incrementando la llegamos a un punto en que la frecuencia forzante y la frecuencia natural son casi iguales y se obtienen amplitudes de vibración muy grandes y destructivas, a partir de fuerzas que pueden ser pequeñas. La condición = n en la que larelación de amplitudes es infinita se conoce como resonancia.
A altas frecuencias cuando n las amplitudes se reducen cada vez más y terminan tendiendo a 0.
Ejercicio de Aplicación:
Un automóvil de 1570 Kg, se soporta sobre cuatro resortes helicoidales cada uno con modulo de resorte de 25 N/ mm. Al viajar sobre un viaducto elevado, se excita un movimiento resonante vertical. Cada claro delviaducto tiene 25 m de longitud y una flecha de 25 mm a la mitad del claro. Determine la carrera máxima vertical del automóvil, cuando viaja por el viaducto a 100 Km / h. Se desprecia la amortiguación.
Datos:
El periodo o el tiempo que transcurre en excitarse la masa es:
De aquí obtenemos la frecuencia forzante:
La ecuación diferencial de este sistema es:
y la solución es:Reemplazando obtenemos:
VIBRACIÓN CAUSADA POR FUERZAS EN ROTACIÓN NO EQUILIBRADAS
Una fuente obvia de vibración forzada, la constituye el desequilibrio de partes en rotación, por ejemplo turbinas, ventiladores, etc. Si el centro de gravedad de una masa mo no equilibrada tiene una excentricidad radial, a partir del eje geométrico de rotación, e, la fuerza externa es una fuerza centrífuga F(t) = mo...
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