Volumenes

* VOLUMENES

1. Calcular el volumen del solido generado al hacer girar la región acotada por la gráfica de fx= sinx

∆iV= π fwi2 ∆iX
∆iV= πi=Oπfwi2 ∆iX
V=lim∆ix→0πi=Oπfwi2 ∆iX
V=π0π(sinx2) dx
V=π0πsinx dx
V=π –cosx
V=π(1+1)
V=2π

2. Un fabricante diseña un objeto metálico, en forma de esfera con un radio de 5 pulgadas, y con un orificio cilíndrico en su interior,como lo muestra la figura. El hueco tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del objeto metálico resultante?


∆iV=π(r1)2- (r2)2 ∆ix
∆iV=π(fx)2- (gx)2∆ix
∆iV=π(25-x2)2- (3)2∆ix
∆iV=π25-x2- 9∆ix
∆iV=π16-x2∆ix
∆iV= πi=-44f(wi) ∆iX
V=lim∆ix→0πi=-44f(wi) ∆iXV=π-44(16-x2) dx
V=π (16x- x33)
V=π(1283+ 1283)
V=2563π

3. Calcular el volumen del solido generado al hacer girar laregión acotada por las gráficas de fx=2-x2 y gx=1 en torno a la recta y=1.

fwi=fx- gx
∆iV= π fwi2 ∆iX
∆iV= π (fx-g(x))2∆iX
∆iV= π 2-x2-1)2∆iX
∆iV= π (1-x2)2∆iX
∆iV= πi=-11fwi2 ∆iX
V=lim∆ix→0πi=-11fwi2 ∆iX
V=π-11(1-x2)2 dx
V=π-111-2x2+ x4 dx
V=π x-2x33+x55
V=π(815+ 815
V=1615π

4. Calcular el volumen el volumen generado al girar la región acotada por las graficas de y= x ey= x2 en torno al eje x.


∆iV=π(r1)2- (r2)2 ∆ix
∆iV=π(fx)2- (gx)2∆ix
∆iV=π(x)2- ((x)2)2∆ix
∆iV=π(x-x4)∆ix
∆iV= πi=01f(wi) ∆iX
V=lim∆ix→0πi=01f(wi) ∆iX
V=π01(x-x4) dx
V=πx22+ x55
V=π310
V=310π
5. v=πab[(Rx)2-rx)2dx
Eje de rotación eje x v=2πabpxhxdx
Y=x
SUPERFICIE REVOLUCIONADA



v=2πo4pxhxdx
v=04(x)(x)dx
v=04xx dx=2π12,8
=25,6πu3

6.Gira sobre el eje x SUPERFICIE REVOLUCIONADA


Y =1x
v1=2πaby 1y-1
v=2π0.511-y
v=2π18
v1=14π
vt=v1+v2
vt=14π+18π
vt=16πμ3

* TRABAJO
1. El depósito rectangular de la figura está lleno de agua, pesa 62,4 libras/pie3. ¿Cuánto trabajo ha de realizar para bombear por arriba, como indica lafigura.
a) a la mitad del agua
b) toda el agua.

∆iV=LA∆iy
∆iV= f(wi)∆iy
∆iF=62.4(fwi∆iy)
∆iW=62.4 fwi∆iywi
∆iW= (62.4 wi fwi∆iy)
∆iW= lim∆iy→0620.4 wi f(wi)∆iy
W=62.4 02y fy dy
a) W=62.4 0220 y dy
W=62.4 20y22
a) W=62.4 40=2.496 libras-pie
b) W=62.4 0420 y dy
b) W=62.4 160=9.984 libras-pie
2. Calcular el trabajo requerido para vaciar un tanque cilíndrico,bombeando el agua contenida desde el fondo del tanque, el tanque posee 10m de alto y 5m de radio

∆iV= πr2∆iy
∆iV= π52∆iy
∆iV= 25π∆iy
∆iF=9810(25π∆ix)
∆iF=245000 π ∆ix
∆iW=∆iF(wi)
∆iW=245000π∆ix)(wi)
∆iW=245000π∆ix)(wi)
∆iW= 245000π(wi)∆ix)
∆iW= lim∆iy→0245000π(wi)∆ix
W=245000π01010-xdx
W≈384845 N


3. Un depósito tiene la forma de la mitad de una esfera de radio 6 pies, quese encuentra lleno hasta 4 pies de altura, calcule el trabajo realizado al bombear hasta la parte superior del tanque.

∆iV= πr2∆iy
∆iV= πx2∆iy
∆iV= πf2(wi)2∆iy
∆iF=62.4(πf2(wi)2∆iy)
∆iF=62.4πf2(wi)2∆iy
∆iW=∆iF(wi)
∆iW=62.4πf2(wi)2∆iy(wi)
∆iW= 62.4π(wi)f2(wi)2∆iy
∆iW= 62.4π(wi)f2(wi)2∆iy
∆iW= lim∆iy→062.4π(wi)f2(wi)2∆iy
w=62.4π 04y(fx2 dy
wi=(6-y f2wi=x2

La ecuaciónde la circunferencia con centro (0, 6) y radio 6:

x-02+ y-62= 62
x2+ (y2-12y+36)=36
x2=12y- y2
w=62.4π 04(6-y)12y-y22 dy
w=62.4π 04(36y-12y2+ y3) dy
w=62.4π 36y22- 12y33+ y44
w=62.4π 96≈18819.3 libras-pie

4. Un depósito esférico de 8 pies de radio está lleno hasta la mitad con un aceite que pesa 50 libras/pie3. Calcular el trabajo requerido para extraer el aceite bombeando atrevesde un orificio situado en lo más alto del depósito.

∆iV= πr2∆iy
∆iV= πx2∆iy
∆iV= πf2(wi)∆iy
∆iF=50(πf2wi∆iy)
∆iF=50π f2wi∆iy
∆iW=∆iF(wi)
∆iW=50π f2wi∆iy(wi)
∆iW=50π(wi) f2wi∆iy
∆iW= (50π wi f2(wi)∆iy
∆iW= lim∆iy→050π wi f2(wi)∆iy
w=50π 08y(fy2 dy
wi=x=16-y f2wi=x2

La ecuación de la circunferencia con centro (0, 8) y radio 8:

x-02+ y-82= 82...