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l EJEMPLO MOVIMIENTO AMORTIGUADO
Una masa de 8 lb de peso estira 2 ft un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numériÂcamente igual a 2 veces la velocidad instantánea actúa sobre elcontrapeso, deduzca la ecuación del movimiento si la masa se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s.
SOLUCIÓN
De acuerdo con la ley de Hooke, 8 = k(2) da k = 4lb/ft. Entonces W = mg da m = 8/32 =   slug. Entonces la ecuación diferencial del movimiento es
 

La ecuación auxiliar de (17) es m2 + 8m + 16 = (m + 4)2 = 0, de forma que m1 = m2 = 4. Luego elsistema es crÃticamente amortiguado y
x(t) = c1e4t + C2te4-4t. (18)
Al aplicar las condiciones iniciales x(0) = 0 y x'(0) = 3 vemos, a su vez, que cl = 0 y c2 = 3. AsÃ, la ecuación del movimiento esx(t) = 3te4. (19)
Para graficar x(t) procedemos igual que en el ejemplo 4. De x'(t) = 3e4`(1 4t) tenemos que x'(t) = 0 cuando t = . El desplazamiento extremo correspondiente es x(.) = 3(.)e1 =0.276 ft. En la figura 5.11 vemos que podemos interpretar este valor como el punto en que el contrapeso alcanza una altura máxima de 0.276 ft sobre su posición de equilibrio.
 

EJEMPLO  Movimiento subamortiguado
Un objeto que pesa 16 lb se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posición de equilibrio, el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 ftarriba de la posición de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t). Considere que el medio que rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidadinstantánea.
SOLUCIÓN El alargamiento del resorte, después de unir el peso, es 8.2 5 = 3.2 ft, de modo que, según la ley de Hooke, 16 = k(3.2), o sea k = 5 lb/ft. Además, m =16/32 =  slug y laecuación diferencial es
 

Las raÃces de m2 + 2m + 10 = 0 son m1 = 1 + 3i, y m2 = 1 3i, lo cual implica que el sistema es subamortiguado y que
x(t) = e-1(c1 cos 3t + c2 sen 3t). (21)
Por último,...
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