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GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
1. INTRODUCCIÓN.
La geometría del espacio presenta a veces gran
dificultad de comprensión, debido a una escasa visión
espacial. En gran parte, esta dificultad es consecuencia de
tener que representar sobre el plano lo que se ve en el
espacio. Por tanto, conviene tener muy claros los elementos fundamentales de la geometría del espacio, que son el
punto, larecta y el plano.
Existen en la actualidad gran número de impresionantes grabados, en los que se explotan
magistralmente ilusiones geométricas, que en último término consisten en la exclusión velada de algunos
axiomas de la geometría euclídea.

2. EL ESPACIO VECTORIAL R3.
A. DEFINICIONES Y NOTACIONES.
R3 = RxRxR = {(x,y,z) / x∈R, y∈R, z∈R}

Vectores de R3. Son los elementos (x,y,z)∈R3.Componentes del vector (x,y,z). Son x, y, z.
Cuando un vector se simbolice con una letra, le pondremos una flecha encima. Así:
u =(x,y,z), v =(a,b,c), w =(3,4,5), ...
B.

IGUALDAD DE VECTORES.

Dos vectores son iguales cuando lo son considerados como elementos del producto cartesiano
RxRxR. Es decir: (x,y,z)=(x',y',z') ⇔ x=x', y=y', z=z'.
También podemos señalar que: (x,y,z)≠(x',y',z') ⇔x≠x' o y≠y' o z≠z`.
(3,2,5) = (3,2,5)

(

1 6
2 3 8
, ,4) = ( , , )
2 8
4 4 2

(2a+3b,a-b,5) = (7,1,5) ⇒ a=2, b=1.
(1,5,2) ≠ (1,4,2)
(7,8,3) ≠ (8,7,3)

C. ADICIÓN EN R3. PROPIEDADES.
Sean u =(x,y,z) y v =(x',y',z') dos vectores de R3.
u + v = (x,y,z)+(x',y',z') = (x+x',y+y',z+z')
Como (x+x',y+y',z+z')∈R3, la adición definida es una operación interna en R3.
FRANCISCO TEJERA

2ºBDTRONCO COMÚN

MATEMÁTICA S.T.J.

CURSO 2009

1

Observación. El primer signo (+) es suma de vectores. Los otros tres signos (+) suma de números
reales.
(3,7,1)+(1,-2,3) = (4,5,4)
(x,y,z)+(2,3,4) = (6,8,7) ⇒ x=4, y=5, z=3.
(5,a,7)+(-3,4,1) = (b,3,8) ⇒ a=-1, b=2.

Propiedades de la adición en R3.
1. Asociativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w )
2. Existe elemento neutro: u + neutro = u⇒ Neutro=(0,0,0)= 0
3. Todo vector de R3 tiene opuesto: u + opuesto = 0 ⇒ Opuesto de (a,b,c)=(-a,-b,-c).
Opuesto de u = - u
(R3,+) es un grupo conmutativo
4. Conmutativa: u + v = v + u
D. PRODUCTO DE VECTORES POR NÚMEROS REALES. PROPIEDADES.
Sean u =(x,y,z) un vector de R3 y α∈R.
α • u = α⋅(x,y,z) = (α⋅x,α⋅y,α⋅z) Claramente (α⋅x,α⋅y,α⋅z)∈R3.
⋅
⋅ ⋅ ⋅
Observación. El primer signo (⋅) esproducto de número real por vector. Los otros tres signos (⋅)
producto de números reales.
2⋅(3,-2,4) = (6,-4,8)
α⋅(2,-4,1) = (-6,12,-3) ⇒ α=-3.
2⋅(x,y,z) = (8,-10,6) ⇒ x=4, y=-5, z=3.

Propiedades del producto de un vector por un número real.
1.
α • ( u + v ) = α • u + α • v . Distributiva respecto a la suma de vectores.
2. (α +1) • u = α • u + • u . Distributiva respecto a la suma deescalares.
3.
α • (h • u ) = (α • h ) • u . Asociatividad entre escalares y vectores.
4.
1• u = u .
E. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL.
Sean u y v dos vectores de R3 y α,ß∈R. El vector w =α⋅ u +ß⋅ v se dice que es una combinación
lineal de los vectores u y v . También se suele decir que w depende linealmente de u y v .
(3,16,5) = 2⋅(3,5,1) + 3⋅(-1,2,1)

Dos vectores u , v ∈R3 son linealmentedependientes si existen dos escalares α,ß∈R, al menos
uno de ellos no nulo, tales que α⋅ u +ß⋅ v = 0 .
(3,2,1) y (6,4,2) son lin. dependientes, pues existen α=2 y ß=-1 tales que: 2⋅(3,2,1)+(-1)⋅(6,4,2)=(0,0,0).

Los vectores u y v son linealmente independientes cuando α⋅ u +ß⋅ v = 0 implica que α=0 y
ß=0.
FRANCISCO TEJERA

2ºBD TRONCO COMÚN

MATEMÁTICA S.T.J.

CURSO 2009

2(4,3,0) y (1,2,5) son linealmente independientes pues de α(4,3,0)+ß(1,2,5) = (4α,3α,0)+(ß,2ß,5ß) = (4α+ß,3α+2ß,5ß) =
(0,0,0) ⇒ α=0 y ß=0.

Teorema. Los vectores u y v de R3 son linealmente dependientes ⇔ u =λ v , λ∈R.
(2,6,4) y (1,3,2) son linealmente dependientes, pues (2,6,4)=2⋅(1,3,2).

Es también evidente, que si dos vectores no nulos de R3 son linealmente dependientes sus
componentes...