yacimientos

Momentos de inercia para un área con respecto a ejes inclinados.
En el diseño estructural y mecánico, a veces es necesario calcular los momentos y el producto de inercia de Iu, Iv e Iuv para unárea con respecto a un conjunto de ejes inclinados u y v cuando se conocen los valores para Ø, Ix,Iy e Ixy.Para hacer esto usaremos ecuaciones de trasformación, las cuales relacionan las coordenadasx, y yu, v.a partir de la figura 10-16, estas ecuaciones son las siguientes:



U= x CosØ + y Sen Ø
V=y Cos Ø + x Sen Ø
Con estas ecuaciones, los momentos y el producto de inercia de dA con respectoa los ejes u y v se convierten:
dIu = v2 dA = (y Cos Ø – x Sen Ø )
dIv = u2 Da = (x CosØ + y SenØ)
dIuv = uv dA = (x CosØ + y SenØ) (y CosØ – x SenØ)dA
Al desarrollar cada expresión eintegrarlas, así como tener presente que Ix = ʃ y2 dA, Iy = ʃ x2 dA e Ixy = ʃ xy dA, obtenemos:
Iu = Ix cos²Ø + Iy sen²Ø – 2Ixy senØ cosØ
Iv = Ix sen²Ø + Iy cos²Ø + 2Ixy senØ cosØ
Iuv = Ix senØ cosØ - IysenØ cosØ + Ixy (cos²Ø – sen²Ø)
Estas ecuaciones pueden simplificarse mediante las identidades trigonométricasSen 2Ø = 2senØ CosØy Cos 2Ø = cos²Ø – sen²Ø, en cuyo caso

Iu = [(Ix +Iy)/2] + [(Ix -Iy)/2]COS 2 Ø – Ixy Sen 2 Ø ……………….10-9
Iv = [(Ix +Iy)/2] - [(Ix -Iy)/2] COS 2 Ø + Ixy Sen 2 Ø ………………..10-9
Iuv = [(Ix -Iy)/2] Sen 2Ø + Ixy Cos 2 Ø ………………………………10-9
Observes que si se suman la primera yla segunda ecuaciones, podemos mostrar que el momento de inercia polar con respecto al eje z que pasa a través de del punto o es, como se esperaba, independiente de la orientación de los ejes u y v;es decir,
Jo = Iu + Iv = Ix + Iy

Momentos de inercia principales.
Las ecuaciones 10-9 muestran que Iu, Iv e Iuv dependen del ángulo de inclinación Ø de los ejes u y v .ahora determinaremos laorientación de esos ejes con respecto a los cuales los momentos de inercia de área son máximo y mínimo. Este sistema particular de ejes se llama ejes principales del área, y los momentos de inercia...