Young09

Laboratorio 4.
Medición del módulo de elasticidad de Young
Objetivo
Determinación del módulo de Young de diversos materiales a partir de la flexión estática y
dinámica de una viga en voladizo.

Ley de Hooke
La elasticidad es la capacidad de los materiales de recuperar su tamaño y su forma
cuando se quitan las fuerzas que les producen deformaciones. Esta propiedad se encuentra en
mayor o menormedida en todos los cuerpos sólidos.
Cuando se presiona un trozo de material, éste se deforma. Si la fuerza es
suficientemente pequeña, el desplazamiento relativo de los diferentes puntos del material es
proporcional a la fuerza. A esto se lo denomina comportamiento elástico. Si se toma un bloque
rectangular de material de longitud l , ancho a y altura h, como el de la figura 1, y se le aplica
entrelos extremos una fuerza F, la longitud aumenta una cantidad ∆l, proporcional a F. A esto
se lo conoce como ley de Hooke.

∆l
a

h
F

F
l
l+∆l

Figura 1: Estiramiento de una barra rectangular
sometida a una tensión uniforme

Este alargamiento ∆l depende de la longitud inicial del material, y también depende del
área del bloque. Esto es porque se supone que la fuerza se distribuye en todos elvolumen del
cuerpo. Para obtener entonces una ley en la que el coeficiente de proporcionalidad entre fuerza y
estiramiento sea independiente de las dimensiones del cuerpo, es más práctico escribir la ley de
Hooke para un bloque rectangular de la forma:

1

F = EA

∆l
l

(1)

donde A es el área transversal del bloque (A = ah), y E es una propiedad natural del material
únicamente, conocida como módulo deYoung.
En esta práctica, se intentará determinar el módulo de Young de distintos materiales,
midiendo la flexión de una barra cilíndrica producida por la aplicación de una fuerza en uno de
sus extremos.
Para una barra sujetada en un extremo (en voladizo), como la que se muestra en la
figura 2 se puede calcular, para torsiones pequeñas, cuál es la deformación de la barra, y por lo
tanto cuál es eldesplazamiento vertical de cada uno de los puntos de la barra. Con el sistema de
coordenadas de la Fig. 2, se puede calcular la flexión y de una barra cilíndrica en función de la
fuerza (pequeña) aplicada sobre el extremo libre de la misma:

y(x) =

32 F  2 x 3 
 Lx −

3 ,
πd 4 E 

(2)

y(x) es el apartamiento de la posición de equilibrio a la distancia x del extremo fijo. La fuerzaaplicada es F, d es el diámetro y L el largo de la barra desde el punto fijo hasta donde pende la
masa m (el desarrollo teórico completo que lleva a esta expresión se encuentra en R.P.
Feynman, Física, Volumen II).

L
x

y(x)

F

Figura 2: Barra en voladizo flexionada debido a la fuerza F colgada del extremo libre

La expresión (1) considera el problema estático, es decir, la configuración de equilibriode la barra para una fuerza F aplicada al extremo. Midiendo la flexión de la barra producida por
una fuerza conocida permite obtener el módulo de Young del material.
Otra forma de medir la elasticidad del material es analizar la frecuencia de la oscilación
del cuerpo para una perturbación mecánica inicial. Así como la constante elástica de un resorte k
determina la frecuencia de oscilación delmismo ( ω = k m ), el módulo de Young del

L4-Módulo de Young

2

material, junto con las dimensiones espaciales y los vínculos del problema determinan la
frecuencia de oscilación mecánica de la barra: Si y(x,t) representa el apartamiento de la posición
de equilibrio en una posición x respecto del origen a un tiempo t, la forma más general de
escribir el movimiento de una barra flexionada es:

y (x, t ) = [ A cos(K n x ) + B cosh(K n x ) + C sen(K n x ) + D senh(K n x )] ×
(3)

× sen ( ωn t + ϕ0 ) exp ( −αt ) .

Kn (que tiene unidades de 1/ longitud) define el modo espacial de oscilación, el cual tiene
asociada una frecuencia angular de oscilación ωn (ωn = 2π fn). Estas dos cantidades están
vinculadas a través de:

ωn =

I E

ρl

K n4 − α 2

.

(4)

que no es otra cosa que la relación de...