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5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto.
Si una función punto posee una derivada en el punto cuya pendiente está dada por , la curva tiene una tangente en el .

Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendiente dada es: . Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por laderivada, la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva es: .

Recordando que si la recta tangente es horizontal. Si la recta tangente es vertical. Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la recta que pasando por dicho punto es perpendicular a la recta tangente en él. La condición de perpedicularidad entre dos rectas cuyas pendientes son , esto es: Si . es la pendientede la recta normal, ellas tienen . Usando la derivada nos queda: . y es:

es la pendiente de una recta tangente y

que cumplir la condición de perpendicularidad, es decir:

Ejercicio Encuentre la ecuación de la recta tangente y la normal a la parábola y dibuje un segmento de estas rectas. Solución La pendiente de la función en el punto (2, 3) se halla encontrando la derivada y evaluando para: en el punto (2, 3)

Por lo tanto la pendiente de la recta tangente el punto (2, 3) es

.

Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo tenemos:

Asi:

Cuya gráfica correspondiente es:

15

y

x2

1

10
y 4x 5

5

punto de tangencia

15

4

2

2

4

Para encontrar la recta normal a la curva primero hallamos su pendiente:
5

10

tangenteUsando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo tenemos:

normal

5
10
2, 3

La gráfica correspondiente a la curva normal es mostrada en la 15 figura de la derecha.

4

2

2

4

5
20

Ejemplo de uso de software:

10

Usando el ejemplo anterior graficar la función, la recta tangente, la normal y marcar el punto con un circulo. A continuación se muestranlos comandos a usar en Mathematica.

Ejercicios para practicar en equipo: Encuentre la ecuación de la recta tangente y la normal a las siguientes funciones en el punto indicado y dibuje estas rectas. 1. 2.

Angulo entre dos curvas
Dadas dos curvas cualesquiera, el ángulo de intersección entre ellas está dado por el ángulo formado por sus tangentes en el punto de intersección. El procedimientopara obtener el ángulo de intersección entre dos curvas se sigue el siguiente procedimiento: 1. Se calculan las coordenadas de los puntos de intersección, resolviendo las ecuaciones formadas por las funciones. 2. Se derivan las ecuaciones para encontrar las pendientes de las tangentes de las curvas para cada uno de los puntos de intersección. 3. Se aplica la siguiente expresión para encontrar elángulo entre dos curvas .

Ejemplo. Hallar el ángulo de intersección entre las dos curvas: Solución. .

Primero hallamos los puntos de intersección de las dos curvas y lo hacemos igualando ambas funciones porque en el punto de intersección ambas funciones tienen la misma coordenada Así, obtenemos: , . .

Después de resolver la ecuación nos quedan dos soluciones Sustituyendo en las funcionesobtenemos las coordenadas en

Como lo podemos ver en la gráfica de las dos ecuaciones las soluciones anteriores corresponden a los puntos de intersección. 6 y1 4 x2 5 x La derivada de las funciones (la pendiente de las tangentes) en esos puntos es: . Sustituyendo para
4

7

4

2
3
9.94°

2

1

1
(4/5,-11/25)

2

El ángulo entre las rectas tangentes en el punto Es:

:

22
1
y2

4

6 x2

2x

5

El ángulo que se forma se puede observar en la figura de la derecha. Sustituyendo para

(-3/2,-11/2)

0

0.5

1.0

1.5

2.0

6
1

8
2

El ángulo entre las rectas tangentes en el punto Es:

:

Ejemplo de uso de software: Usando el ejemplo anterior graficar las funciones y las rectas tangentes. A continuación se muestran los comandos a...