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PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

Considera la función f(x)= x3 + px donde p es un número real.
Escribir (en función de p) la ecuación de la recta tangente a la grafica
f(x) en el punto de abscisa x = 1. Determinar después p, de manera que
la recta tangente anterior pase por el punto (2, 0).
Si y = x3 + px para calcular la tangente a la curva en x0 = 1 + p
mt = y’(1) ;

y’ = 3x2+ p ; mt = 3·12 + p = 3 + p

La ecuación de la recta tangente es y - y0 = mt ( x - x0 )
y – ( 1 + p) = (3 + p)·(x - 1)
y – 1 – p = (3 + p) · x -3 – p ;

y = (3+ p) · x - 2

Si la recta pasa por (2,0)

0 = (3 + p) ·2 – 2

0 = 6 + 2p – 2 ; 2p = - 4 ;

p=2

¿Cuántos puntos hay en la función f(x) = │x2 + 6x + 8 │que no
tengan derivada? Justificar la respuesta.
 6  36  32  6  2; x1 = - 2; x2 = - 4

2
2
Los valores x = - 4 y x = - 2 hacen que f(x) = 0, y éstos son los puntos que discutir
pues, antes de - 4, entre - 4 y - 2 y después de - 2, la f(x) es continua y su derivada
también por ser funciones polinómicas.

Al resolver la ecuación x2 + 6x + 8 = 0; x 

Los puntos (-4, 0) y (-2, 0) no poseen derivada ya que sus derivadas laterales no
coinciden.Además la f(2) no esta definida

Estudiar la continuidad

c) Representar la gráfica.
a) En (-, -1] y = 0 es f. constante => continua en R
En (-1, 2)
y = ax3 + bx es f. polinómica a, b => continua en R
En (2, )
y = 11x – 16 es una recta continua en R

Para a = 1 y b = - 1 la f(x) es continua en R
b)

Las tres funciones f ’(x) en cada intervalo son continuas ya que dos son funcionesconstantas y la otra un polinomio de 2º grado.

x y

x y
y = 11x - 16

-1
0
1
2

0
0
0
6

2
3

6
17

Si no me piden la continuidad de f(x), podemos calcular si es derivable al calcular la
f´(x) y ver si es continua en R.

En (-∞, -2) f´(x) =
esta definida en (-∞, 0) (0, ∞) ya que en x = 0 no
,
 f´(x) esta definida en (-∞, -2) D  f´(x) es continua en (-∞, -2)
f(x) es derivable en (-∞, -2).

En (-2, 1) f´(x) = - 1 definida en R por ser funcion constante  f´(x) es continua en
R  f´(x) es continua en (-2, 1) R  f(x) es derivable en (-2, 1)


En (1, ∞) f´(x) = 2x definida en R por ser funcion polinomica de grado 1  f´(x) es
continua en R  f´(x) es continua en (1, ∞) R  f(x) es derivable en
(1, ∞)

Como la f(x) es a,b

R, funcionespolinómicas de grado 1 o 0 podemos decir que

f(x) es continua en (-∞,0) , (0,1) y (1,∞)

f ‘(x) continua en (-∞,0), (0,1) y (1,∞)

=> f´(x) es derivable



Las 3 funciones f ´(x) son continuas en sus intervalos por motivos similares

Dada la función polinómica de segundo grado f(x) = a·x2 + b·x + c ,
determina los coeficientes a,b y c , si se sabe que la grafica de esa
función pasa porlos puntos (1, 2) y (2, 6) y que en este último punto, la
recta tangente a la curva tiene como ecuación 7x – y – 8 = 0.
Si pasa por (1, 2)  2 = a · 12 + b · 1 + c
2

f(x) = a·x + b·x + c
Si pasa por (2, 6)  6 = a · 22 + b · 2 + c
Ademas como la tangente tiene de ecuación 7x – y – 8 = 0.  y = 7x – 8 , la
pendiente de la recta es m = 7 y a partir de la definición de derivada y´(2) = m = 7Si f´(x) = 2ax + b  7 = 2a · 2 + b

3·3 + b = 4

 b = -5

3–5+c=2  c=4

La función es f(x) = 3x2 – 5x + 4

Dada la función f(x)= x³ - 3x + 1 ¿se anula en algún punto de R? En
caso afirmativo, determina un intervalo cerrado de amplitud menor de
dos décimas que contenga el punto donde se anula.
f(

)=0;

x³ - 3x + 1 = 0

1

0
1

-3
1

1
-2

1

1

-2

-1

1No existe x entero

f(x) es continua en R por ser función polinómica  f(x) continua en [a,b]
Elijo [0,1]

R

signo f(0) ≠ signo f(1)

f(0’25) = (0’25) ³ - 3 · 0’25 + 1 = 1/64 – ¾ + 1 = (1 – 48 + 64) / 64 > 0
f (1/8) = (1/8) ³ - 3(1/8) + 1 = 1/512 – 3/8 + 1 = (1-192+512) / 512 > 0
f(0’4) = (0,4) ³ - 3 · 0’4 + 1 = 0’064 – 1’271 < 0
signo f(0’25) ≠ signo f (0’4) [0’25 , 0’4] 2ª...