I.U.P. Santiago Mariño

Los Sistemas Simples y los Complejos
Para lo que sigue de la introducci´on el lector puede referirse a [
PT94
]. Definiremosahora el conjunto MS
⊂
F
de los difeomorfismos Morse-Smale.Definici´on
3.1
.
Si
f
∈
F
diremos que
f
es Morse-Smale (i.e.
f
∈
MS) si y solo si:1.
Per
(
f
) es finito y consiste ´unicamente de puntos hiperb´olicos2. Para todo par
p,q
∈Per
(
f
) se tiene que
W
s
(
p
) y
W
u
(
q
) son transversales3. Ω(
f
) =
Per
(
f
)Recordemos los siguientes resultados:
Teorema
3.1
.
MS es un conjunto abierto en
F.
Los sistemas de MS se caracterizan por tener din´amica totalmente predecible. Podemosresumir esto en el siguiente enunciado.
Teorema
3.2
.
Si
f
∈
MS, toda ´ orbita de
f
, o bienes peri´ odica, o tiende en el futuroy en el pasado a ´ orbitas peri´ odicas distintas. Adem´ as
f
tiene entrop´ıa topol´ ogica cero.
Definiremos ahora TRAN, el subconjunto de
F
formado porlos difeos que poseen unpunto homocl´ınico transversal. Recordemos la siguiente definici´on:
Definici´on
3.2
.
Si
f
∈
F
diremos que
x
es punto homocl´ınico de
f
si existe unpuntoperi´odico hiperb´olico
p

=
x
tal que
x
∈
W
s
(
p
)
∩
W
u
(
p
). Diremos que
x
es unpunto homocl´ınico transversal si
W
s
(
p
) y
W
u
(
p
) son transversales enx
; en caso contrariodiremos que
x
es una tangencia homocl´ınica.Los siguientes resultados respecto a TRAN son de inter´es para esta monograf´ıa.
Teorema
3.3
.
TRAN es un conjuntoabierto en
F
.
Los difeos de TRAN se caracterizan por tener din´amica totalmente ca´otica comomuestra el siguiente teorema.
Teorema
3.4 (Birkhoff-Smale)
.
Si
f
∈
TRAN, entonces
f
tienepuntos peri´ odicos deper´ıodo arbitrariamente grande, un horseshoe de Smale, y entrop´ıa no nula.
Corolario
3.5
.
TRAN es disjunto con MS.


5. EL DUALISMO DIN´AMICO: LAS CONJETURAS DE...