LOS COMPOCITORES DE CHUQUISACA:

Máximo común divisor
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En matemáticas , se define el máximo común divisor (abreviado mcd) de dos o más números enteros al mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el mcd de 42 y 56 es 14. En efecto:

operando:

Siendo 3 y 4 primos entre sí (no existe ningún número natural, aparte de 1, que divida a la vez al 3 y al 4).
PrecisionesSi a y b sonnúmeros enteros distintos de cero y si el número c es de modo que c|a y a su vez c|b, a este número c se denomina divisor común de los números a y b.1 Obsérvese que dos números enteros cualesquiera tienen divisores comunes. Ellos son 1 y -1. Cuando existen, únicamente, como divisores comunes 1 y -1 de los números a y b, estos se llaman primos entre sí.
Un número entero d se llama máximo comúndivisor (mcd) de los números a y b cuando: i) d es divisor común de los números a y b y ii) d es divisible por cualquier otro divisor común de los números a y b.Como ejemplo, 12 es el mcd de 36 y 60. Pues 12|36 y 12|60; a su vez 12 es divisible por 1, -1, 2, -2, 4, -4, 6, -6, 12 y -12 que son divisores comunes de 36 y 60.2
Cálculo del mcdLos dos métodos más utilizados para el cálculo del máximocomún divisor de dos números son:
Por descomposición en factores primosArtículo principal: Factorización de enteros.
El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el mcd.Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60se obtiene de su factorización en factores primos







El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera.
Usando el algoritmo de Euclides
Artículo principal: Algoritmo de Euclides.
Un métodomás eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el mcd de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño. Por ejemplo, si se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12, el mcd será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el mcd.Formalmente puede describirse como:


Usando el mínimo común múltiplo
El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común múltiplo. Si a y b son distintos de cero, entonces el máximo común divisor de a y b se obtiene mediante la siguiente fórmula, que involucra el mínimo común múltiplo (mcm) de a y b:

MCD de tres o más números
El máximo común divisor de tres números sepuede calcular como sigue: , aunque hay métodos más prácticos y sencillos.
Propiedades
1. Si entonces
2. Si es un entero,
3. Si es un número primo, entonces o bien
4. Si , entonces
5. Si es un divisor común de y , entonces
6. Si , entonces
7. Si , entonces:

La última propiedad indica que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comuneselevados al menor exponente.
Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).
Proposiciones
1. Para cualquier par de números enteros a≠0, b≠0, existe un mcd. 3
2. El m.c.d. de los números a y b puede ser representado en forma de combinación lineal de estos números.
3.Si dos números enteros son primos entre sí, i.e. su mcd = 1 o en otra notación (a,b) = 1, entonces cabe la representación ma + nb = 1 donde m y n son números enteros (Identidad de Bézout).
4. si a|bc y (a,b) = 1, será a|c. En otras palabras, si un número a divide un producto de otros dos números y es coprimo con uno de ellos, entonces divide necesariamente el otro número o factor4 .
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