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CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES

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ALGEBRA TEMA: DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

CONTENIDOS • 1 - DETERMINANTES. DEFINICION PROPIEDADES Ejercicios Propuestos • 2 – DESARROLLO POR COFACTORES O LAPLACE Ejercicios Propuestos • 3 - REGLA DE CHIO Ejercicios Propuestos • 4 - DETERMINANTE Y MATRICES INVERTIBLES Ejercicios Propuestos • RESULTADOS DE EJERCICIOS PROPUESTOS

PAG. 02 04 05 07 0811 12 12 14

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1 - DETERMINANTES. DEFINICION. PROPIEDADES El determinante es una función f: Rnxn ---- R, que le asigna a una matriz cuadrada un número. Así por ejemplo en el caso de una matriz de 2 x 2, el determinante se define de la siguiente manera:  a11 a12   = a11a22 − a21a12 a  21 a22  Para el caso de una matriz de 3 x 3, eldeterminante se puede calcular de la siguiente manera: a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a21 = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a31a12 a23 − a13a22 a31 − a23a32 a11 − a33a12 a21 a33

EJEMPLO Nº 1.1: Calcular el determinante de la matriz A  −1 5 3   A= 0 2 2  3 − 4 2   El determinante de A, calculado por Regla de Sarrus es: −1 5 3 0 2 2 = (−1).2.2 + 0.4.3 + 3.5.2 − 3.2.3 − 2.4.(−1) − 2.5.0 = −4 + 0 + 30 − 18 +8 = 16 3 4 2 −1 5 3 0 2 2

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Sea A una matriz de n x n, y c un escalar distinto de cero. Entonces: 1) 2) Si una matriz B se obtiene de una matriz A multiplicando los elementos de Si una matriz B se obtiene de intercambiar dos filas (columnas) de A, una fila (columna) por c, entonces det (B) = c. det (A) entonces det (B) = -det (A)

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3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Si una matriz se obtiene de una matriz A sumando un múltiplo de una fila Si dos filas (columnas) de una matriz A son iguales, entonces det (A) = 0 Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A son iguales a Si una fila (columna) de una matriz es combinación lineal de las otras, El determinante de la matriz identidad es igual a 1. Eldeterminante de una matriz triangular inferior o triangular superior es El determinante de una matriz A es igual al determinante de la traspuesta

(Columna) a otra fila (columna), entonces det (B) = det (A)

cero, entonces det (A) = 0 entonces det (A) = 0

igual al producto de los elementos de la diagonal principal. de A. (At) 10) El determinante del producto de matrices, es igual al producto delos determinantes. Det (A.B) = det (A).det (B) Nota: observar que las tres primeras propiedades están referidas a las operaciones elementales de filas que se pueden realizar sobre una matriz, y como las mismas modifican o no el determinante. Por otro lado, las propiedades 3 a 6 indican que si las filas (o columnas) de una matriz son Linealmente Dependientes, entonces su determinante es igual a cero.EJEMPLO Nº 1.2: Calcular el determinante de las siguientes matrices aplicando propiedades de los determinantes: 2 0 1 0 0 − 2 = 0 (Por ser nulos los elementos de la columna 2º 0 0 3 1 − 4 −1 0 2 3 0 0 3 0 0 0 1 2 = 1.2.3.4 = 24 (Por 3 4

ser

una

matriz

triangular

superior

se

multiplican los elementos de la diagonal principal)

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41 1 2 2 1 4 = 0 (Por ser la tercera columna proporcional a la primera. −2 1 −4

EJERCICIOS PROPUESTOS – PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1) Calcular el determinante de las siguientes matrices aplicando propiedades:  − 5 0 0   A =  0 −1 0  0 0 3   0 0 0  0    1 0 − 2    − 2 − 1 − 3 − 1 B =  1 1 − 2 C =  2 5 3 1 − 2 2 4       3 4 3 1    5 1 − 1   D = 0 2 2 0 0 1   

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2 - DESARROLLO POR COFACTORES (LAPLACE) Sea A una matriz n x n, se denomina menor correspondiente a la fila i y columna j, Mij, al determinante que se obtiene al eliminar de la matriz A la fila i y la columna j. Se denomina cofactor correspondiente a la fila i y columna j, al menor multiplicado por (-1)i+j EJEMPLO Nº 2.1: Calcular...