álgebra lineal

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NUMEROS COMPLEJOS.
Introducci´n.
o
Los distintos tipos de n´meros han ido apareciendo en la historia del hombre progresivamente,
u
seg´n las necesidades de las actividades que realizaba y son estudiados hoy tambi´n progresivamente
u
e
desde la escuela primaria a la Universidad.
Debido a la necesidad de contar las cabezas de ganado surgieron los n´meros naturales, (que
u
son todospositivos) con los que se puede sumar; los n´meros enteros, (que pueden ser positivos o
u
negativos e incluyen al cero) sirven para indicar los intercambios de mercanc´ y dinero; con ellos se
ıas
puede sumar y restar. La multiplicaci´n es una forma m´s r´pida de hacer una suma de sumandos
o
a a
iguales y entonces se plantea el problema de hacer la operaci´n inversa a la multiplicaci´n que esla
o
o
divisi´n, pero esta operaci´n no siempre tiene soluci´n con n´meros enteros, por lo que se crearon
o
o
o
u
otros n´meros llamados fraccionarios o racionales.
u
Los n´meros enteros se caracterizan por el hecho de que cualquier ecuaci´n de la forma x + a = b
u
o
tiene soluci´n cuando los n´meros que aparecen en ella son enteros.
o
u
Los n´meros fraccionarios se caracterizanpor el hecho de que cualquier ecuaci´n de la forma
u
o
a1 x + a = b tiene soluci´n cuando los n´meros que aparecen en ella son fraccionarios y a1 = 0.
o
u
Hay otro conjunto de n´meros en los que tambi´n la ecuaci´n a1 x + a = b tiene soluci´n si a1 = 0,
u
e
o
o
son los n´meros reales que se construyen como l´
u
ımites de sucesiones de n´meros fraccionarios. Los
u
n´meros realesincluyen a los fraccionarios. La ecuaci´n anterior es una ecuaci´n de primer grado con
u
o
o
una inc´gnita, que tambi´n se puede escribir a1 x + a0 = 0. Nos podemos plantear el problema sobre
o
e
si una ecuaci´n m´s general: an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 tiene siempre soluci´n cuando los
o
a
o
n´meros que aparecen en ella son reales. La respuesta es que no y para obtener respuestapositiva
u
tenemos que construir otro conjunto de n´meros que se llama n´meros complejos y se designa por C.
u
u
Hay ejemplos de ecuaciones de segundo grado que no tienen soluci´n real. La ecuaci´n m´s
o
o
a
simple que no tiene soluci´n real es x2 + √ = 0. La ecuaci´n general de segundo grado, de la forma
o
1
o
b2
u u
ax2 + bx + c = 0 tiene la soluci´n x = −b± 2a −4ac pero si b2 −4ac < 0 no encontramos ning´n n´mero
o
real para x.
Lo asombroso es que escribiendo por i un n´mero imaginario que satisfaga i2 +1 = 0, encontramos
u
n´meros, llamados complejos, que son soluciones de todas las ecuaciones de segundo grado planteadas.
u
√
√
Ya que si b2 −4ac < 0, tenemos b2 − 4ac = i 4ac − b2 que tiene un sentido imaginario. Entonces, el
conjunto de los n´meros solucionesde todas las ecuaciones de segundo grado que se pueden plantear
u
√
2 −4ac
es el conjunto de los binomios de la forma −b ± b 2a
donde el segundo sumando puede ser real
2a
´
o imaginario. Este es el conjunto de los n´meros complejos en el que i2 = −1 por ser i soluci´n
u
o
de la ecuaci´n x2 + 1 = 0. Los representaremos, en general, como a + bi, donde a y b son ahora
o
n´meros realescualesquiera. El conocimiento de las propiedades de las operaciones de los n´meros
u
u
complejos ampl´ la cantidad de ecuaciones que podemos resolver. Es muy importante y sorprendente
ıa
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el teorema fundamental del ´lgebra que afirma que cualquier ecuaci´n de grado n con coeficientes
a
o
complejos tiene siempre al menos un n´mero complejo como soluci´n.
u
o
Haciendo ingeniosascombinaciones con los coeficientes de la ecuaci´n de tercer grado, del Ferro
o
y Tartaglia encontraron la forma general de sus soluciones, que ha pasado a la historia como f´rmula
o
de Cardano. La resoluci´n de la ecuaci´n de cuarto grado fu´ reducida a la soluci´n de la ecuaci´n de
o
o
e
o
o
tercer grado por Ferrari. Pero el problema es mucho m´s dif´ si el grado de la ecuaci´n es mayor,
a...