Álgebra

Francesc Bars Cortina

Uns apunts de n´meros u complexos.

Enginyeria Qu´ ımica
UAB, 15 de setembre de 2010 Versi´ preliminar. o

ii

Francesc Bars

Contingut
1 Nombres complexos 1.1 Definici´ i primeres propietats de nombres complexos . . . . . o 1.2 Factoritzaci´ de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.1 L’exponencial complexa. Arrels d’un nombre complex 1.2.2Factoritzaci´ de polinomis a R[x] i a C[x] . . . . . . . o Bibliografia . . . . . . . . 1 1 8 8 13 21

iv

Francesc Bars

CONTINGUT

Cap´ ıtol 1

Nombres complexos

1.1

Definici´ i primeres propietats de nombres o complexos

Anem a introduir els nombres complexos, igual que els nombres enters i racionals, s’obtenen d’afegir n´meros que s´n solucions de certs polinomis, en aquest casu o els nombres complexos s’obtenen d’afegir a R les solucions de tots els polinomis a coeficients reals (aquest fet el podreu deduir despr´s de llegir la §1.2 d’aquests e apunts). Aqu´ definim-los de la seg¨ent manera m´s pr`ctica per fer-ne c`lculs. ı u e a a Anem primer a definir un n´mero “nou”, u Definici´ 1.1.1. Considerem el polinomi o x2 + 1 Denotem per i una de les arrels d’aquest polinomique fixem (pensem amb i := √ + −1). Fixeu-vos que les arrels del polinomi son ±i, i que aquest nou nombre i compleix i2 = i · i = −1. (i ´s un nombre imaginari). e Observaci´ 1.1.2. Aquest nombre s’introdueix al s. XVIII, i veureu la seva o utilitat en facilitar c`lculs i idees en els vostres estudis. a Anem ara a definir els nombres complexos. Definici´ 1.1.3. Un n´mero complex ´s un parellordenat(!) de nombres reals o u e a, b, denotat per (a, b) o tamb´ per a + bi. El conjunt de tots els nombres come plexos el denotem per C.(Fixeu-vos que posant b = 0 els nombres reals estan dins dels nombres complexos, R ⊂ C). Dos nombres complexos (a, b) i (c, d) s´n iguals si i nomes si a = c i b = d. o Exemple 1.1.4. (2, 3) o 2 + 3i ´s un nombre complex. (3, 2) o 3 + 2i ´s un e e altre nombrecomplex, diferent a 2 + 3i.

2

Francesc Bars

Nombres complexos

Observaci´ 1.1.5. Un nombre complex es pot considerar com un punt (a,b) en o el pl` OX-0Y o com un vector de centre (0,0) al punt (a,b). a

b ¨ ¨¨

(a, b) B ¨· ¨¨ a

Definici´ 1.1.6. Sigui z := a + bi un numero complex (a, b ∈ R), es defineix la o part real del nombre z per el nombre real a i s’anota, Re(z), ´s a dir e Re(z )= a. Anomenem la part imagin`ria de z al nombre real b i ho denotem per Im(z), ´s a e a dir tenim Im(z ) = b. Exemple 1.1.7. Re(−2 + i) = −2, Im(−2 + i) = 1.

−2 + 1i ·r ‰ rr −2

1 r rr

Fixeu-vos que la part real ´s la projecci´ del vector amb l’eix de les absisses. e o La part imaginaria s’obt´ via la projecci´ amb l’eix OY (ordenades). e o Els nombres complexos tamb´ tenen una operaci´ +i ·. Anem a definir-les e o i veurem que tenen les propietats que tenien els nombres racionals o reals (li hav´ dit “cos”, als n´meros amb dues operacions + i · amb certes propietats ıem u que tamb´ tenen els nombres complexos amb les operacions +, · que definirem e tot seguit). Operaci´ +: o sigui z = a + bi i w = c + di dos nombres complexos (a, b, c, d ∈ R) definim la suma per, z + w = (a + bi) +(c + di) := (a + c) + i(b + d). Observaci´ 1.1.8. Observeu que pensant el nombre complex com un vector, la o suma de dos nombres complexos ´s la suma de dos vectors en el pl`. e a

1.1 Definici´ i primeres propietats de nombres complexos o

3

Operaci´ ·: o z · w = (a + bi) · (c + di) = ac + bdi2 + adi + bci = (ac − bd) + i(ad + bc). (Observeu que utilitzem i2 = −1 en l’´ltima igualtat. uExemple 1.1.9. 1. Sumeu 2 + 3i amb 2 − 3i.

(2 + 3i) + (2 − 3i) = (2 + 2) + i(3 − 3) = 4 + 0i = 4 2. Multipliqueu 2 + 3i amb 2 − 3i. (2 + 3i)(2 − 3i) = 4 − 6i + 6i − 9i2 = 4 − 9i2 = 4 + 9 = 13. Exercici 1.1.10. Feu els seg¨ents c`lculs en nombres complexos u a √ √ 1. (1 + 3i)(2 + 3 + πi), 2. (e + log(2)i)(log(2) + ie), √ 3. ( 3 + i)3 . Anem a llistar les propietats (que s´n les mateixes que...