Álgebra

INTRODUCCIN:

Definimos aqu las estructuras algebraicas que aparecen en casi todas las ramas de las matemticas. Cuando un conjunto est provisto de una o varias operaciones binarias se tiene un sistema algebraico, dicho sistema posee cierta estructura que est determinada por las propiedades de las operaciones definidas en el conjunto. Cuando exista la posibilidad de que dos conjuntos estnformados por elementos de diferente naturaleza y provistos de operaciones distintas y obedezcan las mismas leyes se dice en tal caso que ambos sistemas poseen estructura algebraica. En particular, definimos lo que es un cuerpo (o campo), grupo y anillo.

En este captulo mencionaremos los conceptos bsicos que nos permiten identificar y comprender la estructura algebraica de los sistemas ms comunes enmatemticas.
4.1 Estructuras Algebraicas

Se llama Estructura Algebraica a un conjunto con una o ms operaciones definidas en l. Estas estructuras pueden ser de grupo y de anillo.

4.2 Estructura Algebraica de grupo

Un conjunto A y una operacin # forman una estructura algebraica s, y solo s:

1)La operacin # est definida en el conjunto A.
2)La operacin # es asociativa.
3)La operacin #tiene elementos idnticos, los cuales son elementos del conjunto A.
4)Cada elemento del conjunto A tiene elemento inverso respecto #, el cual tambin es elemento de A.
5)La operacin # es conmutativa.

El grupo se denomina Abeliano o Conmutativo.

Definicin optativa de "grupo": El par formado por un conjunto G y una operacin G' se dice que tiene estructura de grupos si se verifican lassiguientes propiedades.

1)Asociativa
2)Elemento neutro
3)Elemento simtrico
4)Conmutativa

4.3 Subgrupos

Sucede a veces que una parte de H de un grupo G forma ella misma un grupo; se dice entonces que H es un subgrupo de G. Todo grupo admite dos subgrupos impropios; l mismo y el conjunto reducido al solo elemento neutro.
Hallemos las condiciones necesarias y suficientes para que H, con HCG,sea un subgrupo. Segn los siguientes axiomas:

1.H debe ser cerrado para la ley de g.
2.Se cumple siempre.
3.Exige que H contenga al elemento nuevo.
4.H debe contener el inverso de cada uno de los elementos.

De hecho, estas condiciones se condensan en una sola:

Teorema:
Para que la parte H de G sea un subgrupo es necesario y suficiente que todo par (x,y) de elemento H, H contengatambin X y Y.

4.4 Grupo Mongeno, grupo cclico; generadores de grupo

Sea a un elemento cualquiera de un grupo G denotado multiplicativamente. El conjunto de las potencias "a" a la "p" de donde "P" es un entero relativo cualquier, constituye, como ya lo indicamos, un subgrupo abeliano de G. Se dice que el grupo est engendrado por a. Se tiene:

apaq = ap+q

El elemento a y su inverso engendrael mismo subgrupo.
Se dice que un grupo es mongeno cuando coincide con el subgrupo engendrado por uno de sus elementos. Un grupo mongeno es tambin abeliano. Hay que distinguir dos casos en el estudio de un grupo mongeno:

1.- Las diversas potencias del elemento generador son distintas de dos a dos.

ap = aq implica que p = q

El grupo comprende infinidad de elementos y se denominamongeno infinito.
Dos grupos mongenos infinitos son isomorfos si a y b son dos elementos generadores, la aplicacin ap bq se define isomorfismo.
En particular, todo grupo mongeno infinito es isomorfo con el grupo aditivo z.

2.- Existen dos enteros en p y q (con pq = k>0) tales que ap = aq, de donde ap-q = ak = e.
De ello se deduce que a2k = a3k = ? ank = e. Designaremos entonces n menornmero positivo para el cual an = e.

4.5 Generadores

En un grupo G se dice que un subconjunto A, C, G constituye un sistema de generadores si todo elemento del grupo puede escribirse como producto de un nmero finito de elementos A o de sus inversos.

Definicin de Subgrupos: Sea G un grupo cualquiera y G' un subconjunto no vaco de G. Diremos que G' es un subconjunto de G, si G' posee...