Óptica Geométrica Básica

Ampliación de Cálculo

LA CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES UTILIZANDO SUCESIONES DE CAUCHY

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ÍNDICE
 Abstract …..………………………………………………………………………3  Introducción ….………………………………………………………………..4  Definición axiomática de los nos reales ……….……………………5  Propiedad arquimediana de los nos reales ……………………….6  Densidad del orden de los nos reales ..……………………………..7  Construcción del cuerpo de losnos reales ………………………..9  Construcción axiomática ………………………………..9  Construcción por nos decimales ………………………9  Construcción por cortaduras de Dedekind ……..9  Construcción por sucesiones de Cauchy ..………10 Conjunto de los nos reales..……………………………………..11  Adición de nos reales ..…..……………………………..12 Propiedad asociativa …………………12 Propiedad conmutativa ...………….13 Elemento neutro .....………………….13Elementos opuestos ………………….13  Multiplicación de los nos reales .…..……………….14 Propiedad asociativa ……………......14 Propiedad conmutativa ..….……....14 Elemento unidad ..……………….......14  Elementos inversos ……………………………..15 Inversos .…..………………………………………..16  Propiedad distributiva .…..………………………….…16 Orden en el conjunto de los nos reales…………………………..17

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LA CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALESUTILIZANDO SUCESIONES DE CAUCHY
AUTORES:
Santiago Ageitos López Diego Álvarez de la Concepción Aranzazu Barbero Fernández Sara Caramés Saa Jeanette Cobreros Otero

ABSTRACT:
Is presented below a text that contains the information necessary to carry out the construction of the real numbers from Cauchy’s succession. Each item is required to explain the structure of this numeric body. Starting from thedefinition axiomatic through property arquimedian and density of order. Property arquimedian tells us that any real number falls between two consecutive integers and the following shows that between any two numbers exist infinite irrational numbers. And since coming to the point of the construction of this numeric body explain theorems and establish a relationship of equivalence between twoCauchy’s successions. The whole quotient of this relationship is what we call R. But lack demonstrate its body structure that is what will then proving properties over the addition and multiplication.

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INTRODUCCIÓN

El concepto de número real se constató como antónimo de los números imaginarios y apareció con la necesidad de los números irracionales de la cual se percató el grupo de Pitágoras yaen el siglo 500 a.C. En realidad, los números reales, son el conjunto de los números irracionales y los números racionales. Este conjunto se empezó a utilizar en el siglo XVIII sin una definición concisa, la cual tuvo lugar en 1871 gracias a George Cantor, aunque estos ya se habían visto necesarios por otros matemáticos, siglos antes. El estudio de su construcción necesita la explicación devarios teoremas y propiedades ya que el conjunto de los números reales se define como un cuerpo conmutativo y ordenado por lo cual debemos definir su estructura de cuerpo, lo que incluye propiedades como las de la suma y el producto de números reales, las sucesiones de Cauchy, la propiedad arquimediana de los números reales o las propiedades características del orden. Todo ello será lo que se expliquea continuación, detalladamente, en este documento.

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1. DEFINICIÓN AXIÓMATICA DE LOS NÚMEROS REALES

Los números reales se definen de manera axiomática como el conjunto de números que se encuentran en correspondencia biunívoca, correspondencia de un elemento de un cierto conjunto con uno y sólo uno de otro conjunto, con los puntos de una recta infinita, la recta numérica. El conjunto denúmeros reales, denotado por es aquel conjunto en el que cada elemento cumple cada una de las siguientes proposiciones: 1. Si x, y є , entonces x+y є 2. La conmutatividad en la suma: si x, y є , entonces x+y = y+x 3. La asociatividad en la suma: si x, y, z є , entonces (x+y)+z = x+(y+z) 4. El neutro de la suma: existe 0 є de manera que x+0 = x para cualquier x є . 5. El inverso de la suma...