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Coeficiente Binomial

Si n es un entero positivo y multiplicamos (x+y)n término por término. Cada uno de ellos sera el producto de las x y las y, donde una x o una y provengade cada uno de los factores x+y.

Por ejemplo: la expansion (x+y)3= (x+y) (x+y) (x+y)= x3+3x2y+3xy2+y3
Produce terminos de la forma: x3, 3x2y, 3xy2 y y3
Sus coeficientes son:1, 3, 3, y 1.
Y el coeficiente de xy2, por ejemplo, es , el numero de formas en que podemos escoger los dos factores que proporcionan las y.
De la misma manera, el coeficientex2y es , el numero de formas en que podemos elegir el factor que proporciona las y, y los coeficientes de x3 y y3 son:

En forma mas general, si n es un entero positivo ymultiplicamos (x+y)n término por término, el coeficiente de de xn-r yr es , el numero de formas en la que podemos elegir los r factores que proporcionan las y. Según esto, nos referimosa como un coeficiente binomial.


Ahora podemos enunciar los siguientes teoremas:

Teorema 1: para cualquier entero positivo n.
El calculo de coeficiente binomial amenudo puede simplificarse mediante el uso de
Los tres teoremas que siguen.
.
Teorema 2: Para dos enteros negativos cualesquiera n y r se verifican laigualdad .
Podriamos argumentar que cuando seleccionamos un subconjunto de r objetos de un conjunto de n objetos distintos dejamos un subconjunto de n-r objetos y, porconsiguiente, hay tantas maneras de seleccionar r objetos como dejar (o seleccionar) n-r objetos. Para demostrar el teorema en forma algebraica, escribimos:



Ejemplo:
Determine .Solucion: Para obtener utilizamos el hecho de que , buscamos y de la misma manera .

Teorema 3: Para cualquier entero positivo n y para r= 1,2,…,n-1, verifica .

Teorema 4: .