01 3 Continuidad

Sesión 1.3

Continuidad.
Discontinuidades, clasificación.
Teoremas sobre funciones continuas.

Habilidades
• Define el concepto de continuidad de una función
en un punto.
• Explica con sus palabrasque se entiende por
continuidad desde la izquierda y desde la derecha
y en un intervalo.
• Aplica los teoremas sobre funciones continuas
para establecer la continuidad de funciones
sencillas.
•Reconoce la continuidad en su dominio natural de
las funciones más empleadas.
• Explicar con sus palabras el teorema de valor
intermedio para funciones continuas.
• Clasifica las discontinuidades mediantela
observación de la gráfica, o mediante el análisis
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de sus expresiones analíticas.

Motivación
En la sesión anterior, se estableció que si f es un
polinomio ó una función racional y a está en eldominio de f, entonces
lim
lim ff xx   ff aa
xx
aa

• ¿Son estás las únicas funciones que cumplen con
esta propiedad?
• Será posible crear una clase que agrupe ha un
conjunto más amplios defunciones y se cumpla
que
lim f x   f a
x a

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Definición:
Una función f es continua en un número a si
lim f (x)  f (a)
x a

Es decir:

1 f (a) existe
2 lim f (x) existe
x a

f (x)  f (a)
3lim
x a

Nota: Si f no es continua en a decimos que es
discontinua en a
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Ejemplo 1
En la figura se muestra la gráfica de una función.
¿En qué puntos es discontinua? Justifique su
respuesta.
y

y =f(x)

1

2

3

4

5

x

5

Discontinuidad evitable

y

y = f (x)

lim f (x) existe
x a

a

x

Discontinuidad evitable
o removible

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Discontinuidad por salto

y

y = f(x)
lim f (x) existe

x alim f (x) existe

x a

a

x

Discontinuidad
por salto

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Discontinuidad infinita
y

y = f(x)

Uno o ambos límites laterales
infinitos.
a

x

Discontinuidad
infinita

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Ejemplo 2
¿En qué puntosson discontinuas cada una de
las funciones siguientes? Clasifique las
discontinuidades.

x 2  3x  2
a f x  
x 1
 x2  4
c f x    x  2 , x  2
3x  2 , x  2

 x 2  3x , x  2...