1204_1320_tarea8_sol

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II
Tarea 8 SOLUCIONES

Problema 1: (2 puntos) (a) Encuentre una antiderivada de la función
f (x) = | 1 − |x| |.

SOLUCIÓN: Un método de encontrar la antiderivada de f es por calcular
la función
x
F (x) =

f (t) dt.
0

Por el Teorema Fundamental de Cálculo, dado que f es continua en cada punto,
esta función F será diferenciable en cada punto, y F (x) = f (x).(Escogimos el “0” en el límite de integración arbitrariamente, podríamos
haber escogido cualquier constante a en vez de 0. Tomar a = 0 hará salir un
poco más limpia la fórmula. Cambiar el valor de a corresponde a añadir un
constante a la derivada, igual como en el “+ C” que aparece en la forma general
de una antiderivada.)
Ahora una fórmula para la función F (x) arriba se puede encontrar por geometría,como en la Tarea 7, si se da cuenta que está midiendo el área de unas
regiones triangulares, y tomando en cuenta que las áreas a la izquierda del eje
y cuentan como negativas. La fórmula se cambia un poco en los puntos x = −1
y x = 1 donde la gráfica y = f (x) se encuentra con el eje x y “rebota”:
 −(x+1)2 −1

,
si x < −1;

2


x2 +2x
,
si
− 1 ≤ x < 0;
2 2
F (x) =
2x−x

,
si 0 ≤ x < 1;

2
2
 1+(x−1)
,
si x ≥ 1.
2
(b) Utilice la antiderivada encontrada en el inciso (a) para calcular

3
−3

f (x) dx.

Solución: Utilizando la antiderivada F encontrada arriba y el Teorema
Fundamental de Cáculo, deducimos que
3

f (x) dx = F (3) − F (−3)
−3

=

1 + (3 − 1)2
−(−3 + 1)2 − 1
−
2
2
5 5
= + = 5.
2 2
1

Problema 2: (3 puntos) Considere la función
f (x) =

0,
1,

si x < 1;
si x ≥ 1.

(a)¿Cuáles son todas las funciones g posibles tales que para todo x = 1,
g (x) = f (x)?
SOLUCIÓN: Primero note que sobre el intervalo (−∞, 1), una antiderivada
g de f es necesariamente constante porque su derivada es 0 en todo este intervalo.
Por lo tanto, sobre todo (−∞, 1), la fórmula para g será g = C1 para algún
constante C1 .
De igual manera, sobre todo el intervalo (1, ∞), una antiderivada tiene una“tasa de cambio” constante de 1, así que g(x) = x+C2 para algún otro constante
C2 sobre todo el intervalo (1, ∞).
Ahora en el enunciado, precisa que solamente pedimos que g (x) = f (x) para
x = 1; en x = 1, la derivada g (1) podría tomar cualquier valor, o posiblemente
ni siquiera existe g (1). Por lo tanto, podemos asignar cualquier valor a g(1) sin
afectar g (x) en los demás valores de x = 1.
Enresumen, la forma general de g(x) es:

si x < 1;
 C1 ,
C2 ,
si x = 1;
g(x) =

x + C3 , si x > 1,
donde C1 , C2 , y C3 son cualesquier tres constantes (pueden ser iguales entre
sí o todos distintos).
(b) Ahora verifique que para toda función g tal que g (x) = f (x) para
todo x = 1, la derivada g (1) no existe. Por lo tanto, la función f no tiene
antiderivada, por lo menos no sobre todo sudominio.
SOLUCIÓN: Hay varios casos dependiente de los valores de C1 , C2 , y C3 ,
pero la idea siempre es hacer una comparación entre los dos límites
L1 = lim

g(1 + h) − g(1)
h

L2 = lim−

g(1 + h) − g(1)
.
h

h→0+

y

h→0

Para que g (1) existiera, los límites L1 y L2 necesitarían tomar el mismo
valor finito. Pero esto jamás pasará:
Caso 1: C2 − C3 = 1. Entonces
L1 = lim

h→0+

1 + h + C3 − C2
h
2

=lim

h→0+

h
= 1,
h

sin embargo,
L2 = lim

h→0−

C1 − C2
,
h

que podría ser 0 (si C1 = C2 ) o que podría ser ∞ (si C1 < C2 ) o −∞ (si
C2 < C1 ). Pero en todos los casos, jamás es igual a 1.
Caso 2: C2 − C3 = 1. En este caso, se puede verificar que
L1 = lim+
h→0

1 + h + C3 − C2
h

será ∞ o −∞, pero nunca puede ser finito; y por la definición, una derivada
g (a) siempre es un número finito.
(c)Halle
3

f (x) dx.
−1

(Esto realmente debe ser fácil, sólo es para recordarles que hay casos para
los cuales el F.T.C. no es tan útil.)
SOLUCIÓN: Pensando en la integral definida como el área por debajo de
la gráfica de y = f (x), se da cuenta que esta área es 0 entre −1 y 1, y entre 1 y
3 es el área de un rectángulo con altura 1 y base de longitud 2, así que
3

f (x) dx = 2.
−1

Problema...