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Definición y Propiedades de un espacio vectorial
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dosoperaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Laprimera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendotener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.
Propiedades del Espacio Vectorial
Suma de vectores
Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndoseun paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Resta de vectores

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Producto de un número por un vector

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.Subespacio vectorial
En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V..
Índice
Definición subespacio vectorial[editar • editar código]
Sea un espacio vectorial y no vacío, es un subespacio vectorial de si:

donde K es el conjunto de todos los escalares.Consecuencias[editar • editar código]
Un subespacio vectorial que cumple las dos condiciones anteriores es un espacio vectorial.
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Notaciones
Dado un subespacio vectorial, se tiene:
Para i) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.
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Para ii) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.
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Criterio deverificación[editar • editar código]
Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:
Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualquiera dos vectores v, wpertecientes a U y cualquier escalar r perteneciente al campo asociado, el vector es también un elemento de U.
Ejemplos[editar • editar código]
Dado el espaciovectorial , sus elementos son del tipo .

y están alineados, ,


y forman un paralelogramo si no están alineados,


Suma de 3 elementos.
El subconjunto
.
es un subespacio vectorial.
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El subconjunto

no es un subespacio vectorial.
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Operaciones con subespacios[editar • editar código]
Sea (V, +, K, *) un espaciovectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:
Unión[editar • editar código]

En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.
Intersección[editar • editar...