1300217203_Modelos Matemáticos Ciencias Agrarias

CLASE 1
MODELOS MATEMÁTICOS
1.1. Diferentes tipos de modelos. La publicación Análisis de modelos matemáticos
aplicados en las ciencias agrarias habla de modelos mentales, verbales, matemáticos y
gráficos.
Mental
Modelos
Verbal
Explícito Gráfico
Físico
Matemático
1.2. Modelos matemáticos. Los elementos constitutivos de los modelos matemáticos son:
- Variables
- Parámetros
- Relaciones funcionales- zona de definición
1.3. Características de los modelos matemáticos usados en agronomía.
- suavidad
- funciones continuas
- dominios cerrados y acotados
- recorrido en el primer cuadrante
1.4. Usos y aplicaciones de estos conceptos. Descripción, Comprensión y Predicción de
fenómenos. Los conceptos mencionados tienen aplicación en diferentes campos como
biología, fertilización de suelos yeconomía. En fertilización de suelos y cultivos los
modelos más usados son los polinomiales y del tipo Mitscherlich. En crecimiento de
vegetales y animales las funciones del tipo exponencial como la logística, han demostrados
ser las útiles. En crecimiento de bacterias generalmente se encuentra crecimiento
logarítmico. En economía se encuentran funciones muy interesantes y lo veremos con un
poco mas dedetalle.

Función de respuesta a un insumo: Si tenemos Y= f(X1 ,...,Xn ) que representa una función
de respuesta a una serie de insumos (Y es el producto; X1 , ... , Xn son los insumos).
Conviene comenzar a estudiar la función de respuesta a un solo insumo como opción
inicial, por su simplicidad. Supongamos para fijar ideas que estamos estudiando la
respuesta en producción de maíz a la fertilizacióncon nitrógeno. Algunos conceptos que
aparecen son el producto medio y el producto marginal. El producto medio o promedio es
la cantidad de producto que se obtiene por unidad de insumo, o sea los kilos de maíz que
obtenemos divididos los kilos de fertilizante nitrogenado agregado: PP= Y/X. El producto
marginal es la cantidad de producto que se obtiene por unidad de insumo adicional que seincorpore al sistema a partir de un momento. En nuestro ejemplo, los kilos de maíz que
obtenemos por cada kilo de fertilizante nitrogenado agregado a partir de 100. Se puede
demostrar que el producto marginal es la derivada de la función de producción con respecto
al insumo: PM= dY/dX.
En base a estos conceptos, lo s economistas han definido tres regiones en la función de respuesta:
I. PM>PP. En la primerregión, el producto marginal aumenta, al productor le conviene seguir agregando.
II. En la segunda región la producción continúa aumentando pero a un ritmo decreciente: PP ≥ PM>0.
III. En la tercer zona, la producción comienza a disminuir por exceso de fertilizante: PM<0.
Las zonas I y III son zonas de producción absurda, mientras que la zona II es de producción racional. O sea el
productor tieneque moverse en la zona II para tomar decisiones racionales.

Ejemplo de fertilización
X es la cantidad de fertilizante
Y es la producción de maíz
PP es la producción promedio=Y/X
∆Y/∆X es el cociente incremental
PM es la producción marginal (la derivada)
Estamos suponiendo que la función de producción es Y=10+100X-X2
Por lo tanto la derivada es Y’ =100-2X
X

Y

0
10
20
30
40
50
60

10
910
16102110
2410
2510
2410

PP
91,00
80,50
70,33
60,25
50,20
40,17

∆Y/ ∆X

PM

90
70
50
30
10
-10

100
80
60
40
20
0
-20

Producto Costo
200
18200
32200
42200
48200
50200
48200

Rel P/C
∞
182,0
161,0
140,7
120,5
100,4
80,3

0
100
200
300
400
500
600

En las tres últimas columnas tenemos lo que valdría el producto si el precio fuera de 20 y lo
que costaría el fertilizante si el precio fuera de 10.Finalmente, en la última columna
tenemos la relación entre el producto y el costo en esas condiciones. Más adelante veremos
que la situación óptima es cuando la derivada iguala la relación de precios.

3000

120
100

2500

80
2000

Y

60

1500

40
20

1000

PP
DY/DX

0
500

-20

0

-40
1

2

3
4
5
Kg. de fertilizante

6

7

PM

Laboratorio 1. Modelos matemáticos.

Ejercicio 1.
En un estudio conducente...