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Páginas: 61 (15013 palabras)
Publicado: 12 de diciembre de 2015
Ingenier´ıa Civil.
Matem´
aticas I. 2012-2013.
Departamento de Matem´
atica Aplicada II.
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.
Tema 6.- Autovalores y autovectores.
6.1.- Autovalores y autovectores.
Definici´on y propiedades.
La ecuaci´on caracter´ıstica.
6.2.- Diagonalizaci´
on.
Matrices diagonalizables.
Matrices no diagonalizables.
6.3.- Matrices sim´
etricas reales.Diagonalizaci´on. El teorema espectral.
6.4.- Aplicaciones del c´
alculo de autovalores y autovectores.
Ecuaciones en diferencias.
C´onicas y cu´adricas giradas.
6.5.- Ejercicios.
Enunciados.
Soluciones.
A lo largo de todo el tema trataremos esencialmente con matrices cuadradas reales (aunque muchos de los resultados que veamos tambi´en ser´an v´alidos para el caso de matrices cuadradas complejas). Detodos modos, aun trabajando con matrices reales, ser´a imprescindible
hacer referencia a los n´
umeros (y a los vectores) complejos. La raz´on es que necesitaremos
considerar las ra´ıces de un polinomio con coeficientes reales (si la matriz es real) y ´estas
pueden ser complejas con parte imaginaria no nula.
Una matriz A cuadrada m × m define una transformaci´on lineal sobre Km ,
x ∈ Km −→ y = Ax ∈ Km.
Aunque la matriz sea real, cuando algunas de las ra´ıces del llamado polinomio caracter´ıstico
de A (que ser´a un polinomio real) sean n´
umeros complejos, con parte imaginaria no nula,
ser´a conveniente referirnos a la transformaci´on definida por A sobre el espacio complejo Cm .
En estos casos, tendremos que considerar para vectores complejos todos los aspectos lineales
que hemos consideradoen el tema 4: combinaciones lineales, dependencia/independencia
lineal, subespacios vectoriales de Cm , dimensi´on, espacios nulo y columna, etc.
La transformaci´on de vectores que efect´
ua la matriz A puede ser m´as o menos sencilla
de describir dependiendo del vector (o de la direcci´on) sobre la que se efect´
ue. El problema
fundamental que se aborda es el de la determinaci´on de las llamadasdirecciones principales:
direcciones sobre las que la matriz A act´
ua como la multiplicaci´on por un n´
umero. Calculemos
para algunos ejemplos geom´etricos en el plano y en el espacio, los vectores sobre los cuales
la transformaci´on asociada a una matriz act´
ua simplemente multiplicando por un n´
umero.
149
150
Tema 6.- Autovalores y autovectores.
Ejemplos.
(1) Consideremos latransformaci´on lineal en el plano consistente en la simetr´ıa respecto de
una recta r que pase por el origen de coordenadas. Aplicando esta transformaci´on sobre
un vector de dicha recta se obtiene el mismo vector y aplic´andola sobre un vector de
la recta s perpendicular a r que pasa por el origen de coordenadas se obtiene el vector
opuesto. Los vectores (no nulos) de las rectas r y s se denominanvectores propios o
autovectores de la transformaci´on dada. Las rectas a veces se denominan direcciones
principales de la transformaci´on y los coeficientes λ1 = 1 y λ2 = −1, asociados a dichas
direcciones, se suelen denominar valores propios o autovalores.
(2) Consideramos un plano π que pase por el origen en el espacio R3 y la transformaci´on
lineal T : R3 −→ R3 que asocia a cada vector v ∈ R3 elvector T (v) ∈ R3 que se obtiene
al proyectar v (ortogonalmente) sobre el plano considerado. Si {v1 , v2 } son dos vectores
que generan el plano y v3 es un vector (no nulo) perpendicular al plano tenemos que
T (v1 ) = v1 , T (v2 ) = v2 , T (v3 ) = 0
con lo cual v1 , v2 y v3 son autovectores y los coeficientes respectivos 1, 1 y 0 son autovalores. Puesto que los vectores v1 , v2 y v3 forman una base deR3 , cualquier vector v ∈ R3 puede expresarse como combinaci´on de ellos y teniendo dicha expresi´on
v = αv1 + βv2 + γv3 es inmediato obtener T (v) como combinaci´on lineal de los vectores
v1 , v2 y v3 ,
T (v) = αT (v1 ) + βT (v2 ) + γT (v3 ) = αv1 + βv2 .
Por ejemplo, para el plano π ≡ 2x − 3y + z = 0 podemos tomar los vectores
3
1
v1 = 2 , v2 = 0
0
−2
2
y v3 = −3
1...
Matem´
aticas I. 2012-2013.
Departamento de Matem´
atica Aplicada II.
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.
Tema 6.- Autovalores y autovectores.
6.1.- Autovalores y autovectores.
Definici´on y propiedades.
La ecuaci´on caracter´ıstica.
6.2.- Diagonalizaci´
on.
Matrices diagonalizables.
Matrices no diagonalizables.
6.3.- Matrices sim´
etricas reales.Diagonalizaci´on. El teorema espectral.
6.4.- Aplicaciones del c´
alculo de autovalores y autovectores.
Ecuaciones en diferencias.
C´onicas y cu´adricas giradas.
6.5.- Ejercicios.
Enunciados.
Soluciones.
A lo largo de todo el tema trataremos esencialmente con matrices cuadradas reales (aunque muchos de los resultados que veamos tambi´en ser´an v´alidos para el caso de matrices cuadradas complejas). Detodos modos, aun trabajando con matrices reales, ser´a imprescindible
hacer referencia a los n´
umeros (y a los vectores) complejos. La raz´on es que necesitaremos
considerar las ra´ıces de un polinomio con coeficientes reales (si la matriz es real) y ´estas
pueden ser complejas con parte imaginaria no nula.
Una matriz A cuadrada m × m define una transformaci´on lineal sobre Km ,
x ∈ Km −→ y = Ax ∈ Km.
Aunque la matriz sea real, cuando algunas de las ra´ıces del llamado polinomio caracter´ıstico
de A (que ser´a un polinomio real) sean n´
umeros complejos, con parte imaginaria no nula,
ser´a conveniente referirnos a la transformaci´on definida por A sobre el espacio complejo Cm .
En estos casos, tendremos que considerar para vectores complejos todos los aspectos lineales
que hemos consideradoen el tema 4: combinaciones lineales, dependencia/independencia
lineal, subespacios vectoriales de Cm , dimensi´on, espacios nulo y columna, etc.
La transformaci´on de vectores que efect´
ua la matriz A puede ser m´as o menos sencilla
de describir dependiendo del vector (o de la direcci´on) sobre la que se efect´
ue. El problema
fundamental que se aborda es el de la determinaci´on de las llamadasdirecciones principales:
direcciones sobre las que la matriz A act´
ua como la multiplicaci´on por un n´
umero. Calculemos
para algunos ejemplos geom´etricos en el plano y en el espacio, los vectores sobre los cuales
la transformaci´on asociada a una matriz act´
ua simplemente multiplicando por un n´
umero.
149
150
Tema 6.- Autovalores y autovectores.
Ejemplos.
(1) Consideremos latransformaci´on lineal en el plano consistente en la simetr´ıa respecto de
una recta r que pase por el origen de coordenadas. Aplicando esta transformaci´on sobre
un vector de dicha recta se obtiene el mismo vector y aplic´andola sobre un vector de
la recta s perpendicular a r que pasa por el origen de coordenadas se obtiene el vector
opuesto. Los vectores (no nulos) de las rectas r y s se denominanvectores propios o
autovectores de la transformaci´on dada. Las rectas a veces se denominan direcciones
principales de la transformaci´on y los coeficientes λ1 = 1 y λ2 = −1, asociados a dichas
direcciones, se suelen denominar valores propios o autovalores.
(2) Consideramos un plano π que pase por el origen en el espacio R3 y la transformaci´on
lineal T : R3 −→ R3 que asocia a cada vector v ∈ R3 elvector T (v) ∈ R3 que se obtiene
al proyectar v (ortogonalmente) sobre el plano considerado. Si {v1 , v2 } son dos vectores
que generan el plano y v3 es un vector (no nulo) perpendicular al plano tenemos que
T (v1 ) = v1 , T (v2 ) = v2 , T (v3 ) = 0
con lo cual v1 , v2 y v3 son autovectores y los coeficientes respectivos 1, 1 y 0 son autovalores. Puesto que los vectores v1 , v2 y v3 forman una base deR3 , cualquier vector v ∈ R3 puede expresarse como combinaci´on de ellos y teniendo dicha expresi´on
v = αv1 + βv2 + γv3 es inmediato obtener T (v) como combinaci´on lineal de los vectores
v1 , v2 y v3 ,
T (v) = αT (v1 ) + βT (v2 ) + γT (v3 ) = αv1 + βv2 .
Por ejemplo, para el plano π ≡ 2x − 3y + z = 0 podemos tomar los vectores
3
1
v1 = 2 , v2 = 0
0
−2
2
y v3 = −3
1...
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